Геометриянын аксиомаларынын бири каалаган эки чекит аркылуу бир түз сызык тартууга болорун айтат. Бул аксиома көрсөтүлгөн бир өлчөмдүү геометриялык объектти өзгөчө сүрөттөгөн уникалдуу сандык туюнтма бар экенин күбөлөндүрөт. Макалада эки чекит аркылуу өткөн түз сызыктын теңдемесин кантип жазуу керек деген суроону карап көрөлү.
Точка жана сызык деген эмне?
Космосто жана тегиздикте ар кандай чекиттердин жуптары аркылуу өткөн теңдеменин түз сызыгын куруу маселесин кароодон мурун, көрсөтүлгөн геометриялык объекттерди аныктоо керек.
Кордината окторунун берилген системасындагы координаттардын жыйындысы аркылуу чекит уникалдуу аныкталат. Алардан тышкары, пункт үчүн башка мүнөздөмөлөр жок. Ал нөл өлчөмдүү объект.
Түз сызык жөнүндө сөз кылганда ар бир адам ак баракка түшүрүлгөн сызыкты элестетет. Ошол эле учурда так геометриялык аныктама берүүгө болотбул объект. Түз сызык - бул чекиттердин жыйындысы, ал үчүн алардын ар биринин бардык башкалары менен байланышы параллелдүү векторлордун жыйындысын берет.
Бул аныктама түз сызыктын вектордук теңдемесин орнотууда колдонулат, ал төмөндө талкууланат.
Кандайдыр бир сызыкты ыктыярдуу узундуктагы сегмент менен белгилөө мүмкүн болгондуктан, ал бир өлчөмдүү геометриялык объект деп айтылат.
Сан вектор функциясы
Өтүүчү түз сызыктын эки чекити аркылуу өткөн теңдемени ар кандай формада жазууга болот. Үч өлчөмдүү жана эки өлчөмдүү мейкиндиктерде негизги жана интуитивдик түшүнүктүү сандык туюнтма вектор болуп саналат.
Багытталган u¯(a; b; c) сегменти бар деп ойлойлу. 3D мейкиндигинде u¯ вектору каалаган чекиттен башталышы мүмкүн, ошондуктан анын координаттары параллелдүү векторлордун чексиз жыйындысын аныктайт. Бирок, биз белгилүү бир чекит тандасак P(x0; y0; z0) жана ал u¯ векторунун башталышы катары, анда бул векторду λ ыктыярдуу реалдуу санына көбөйтүү менен мейкиндикте бир түз сызыктын бардык чекиттерин алууга болот. Башкача айтканда, вектордук теңдеме төмөнкүчө жазылат:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c)
Албетте, учакта сандык функция төмөнкү форманы алат:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b)
Башкаларга салыштырмалуу теңдеменин бул түрүнүн артыкчылыгы (сегменттерде, канондук,жалпы форма) багыт векторунун координаталарын ачык камтыганында турат. Акыркысы көбүнчө сызыктардын параллель же перпендикуляр экендигин аныктоо үчүн колдонулат.
Сегменттерде жалпы жана эки өлчөмдүү мейкиндикте түз сызык үчүн канондук функция
Маселелерди чечүүдө кээде эки чекит аркылуу өткөн түз сызыктын теңдемесин белгилүү, конкреттүү формада жазуу керек болот. Ошондуктан, эки өлчөмдүү мейкиндикте бул геометриялык объектти көрсөтүүнүн башка жолдорун берүү керек (жөнөкөйлүк үчүн ишти тегиздикте карайбыз).
Жалпы теңдемеден баштайлы. Анын формасы бар:
Ax + By + C=0
Эреже катары, тегиздикте түз сызыктын теңдемеси ушул формада жазылат, у гана х аркылуу ачык аныкталат.
Эми жогорудагы туюнтманы төмөнкүдөй өзгөртүңүз:
Ax + By=-C=>
x/(-C/A) + y/(-C/B)=1
Бул туюнтма сегменттердеги теңдеме деп аталат, анткени ар бир өзгөрмөнүн бөлүүчүсү сызык сегментинин башталгыч чекитке (0; 0) салыштырмалуу тиешелүү координат огунда канча убакыт кесилишин көрсөтөт.
Канондук теңдемеге мисал келтире кетели. Бул үчүн биз вектордук теңчиликти ачык жазабыз:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb
Бул жерден λ параметрин туюндуруп, алынган теңдиктерди теңелели:
λ=(x - x0)/a;
λ=(y - ж0)/b;
(x -x0)/a=(y - y0)/b
Акыркы теңдеме канондук же симметриялык формадагы теңдеме деп аталат.
Алардын ар бирин векторго жана тескерисинче айландырса болот.
Эки чекит аркылуу өткөн түз сызыктын теңдемеси: компиляция техникасы
Макаланын суроосуна кайтуу. Мейкиндикте эки чекит бар дейли:
M(x1; y1; z1) жана N(x 2; y2; z2)
Алардан жалгыз түз сызык өтөт, алардын теңдемесин вектордук формада түзүүгө абдан оңой. Бул үчүн, MN¯ багытталган сегментинин координаталарын эсептейбиз, бизде:
MN¯=N - M=(x2-x1; y2- y1; z2-z1)
Бул вектор түз сызык үчүн багыт болорун болжолдоо кыйын эмес, анын теңдемеси алынышы керек. Ал M жана N аркылуу да өтөөрүн билип, вектордук туюнтма үчүн алардын каалаганынын координаталарын колдонсоңуз болот. Андан кийин керектүү теңдеме төмөнкү форманы алат:
(x; y; z)=M + λMN¯=>
(x; y; z)=(x1; y1; z1) + λ(x2-x1; y2-y1; z2-z1)
Эки өлчөмдүү мейкиндиктеги жагдай үчүн z өзгөрмөсүнүн катышуусуз окшош теңчиликти алабыз.
Сызыктын вектордук теңдиги жазылар замат, аны маселенин суроосу талап кылган башка формага которууга болот.
Тапшырма:жалпы теңдемени жаз
Координаталары (-1; 4) жана (3; 2) болгон чекиттерден түз сызык өтөөрү белгилүү. Алар аркылуу өткөн түз сызыктын теңдемесин жалпы формада у-ну х менен туюнтуучу түз сызык менен түзүү керек.
Маселени чечүү үчүн адегенде теңдемени вектор түрүндө жазабыз. Вектордун (багыттоочу) координаттары:
(3; 2) - (-1; 4)=(4; -2)
Анда түз сызыктын теңдемесинин вектордук формасы төмөнкүдөй:
(x; y)=(-1; 4) + λ(4; -2)
Аны жалпы түрдө у(х) түрүндө жазуу калды. Бул теңчиликти ачык кайра жазып, λ параметрин туюнтуп, аны теңдемеден чыгарабыз:
x=-1 + 4λ=>λ=(x+1)/4;
y=4 - 2λ=> λ=(4-y)/2;
(x+1)/4=(4-ж)/2
Натыйжадагы канондук теңдемеден у туюнтуп, маселенин суроосуна жооп алабыз:
y=-0,5x + 3,5
Бул теңчиликтин тууралыгын маселенин билдирүүсүндө көрсөтүлгөн чекиттердин координаталарын алмаштыруу менен текшерсе болот.
Маселе: сегменттин борбору аркылуу өткөн түз сызык
Эми бир кызыктуу маселени чечели. М(2; 1) жана N(5; 0) эки чекит берилди дейли. Чекиттерди бириктирүүчү жана ага перпендикуляр болгон кесимдин ортосунан түз сызык өтөөрү белгилүү. Сегменттин ортосунан өткөн түз сызыктын теңдемесин вектор түрүндө жаз.
Керектүү сандык туюнтманы ушул борбордун координатын эсептөө жана багыт векторун аныктоо аркылуу түзүүгө болот, алсегмент 90 бурч түзөтo.
Сегменттин ортосу:
S=(M + N)/2=(3, 5; 0, 5)
Эми MN¯ векторунун координаталарын эсептейли:
MN¯=N - M=(3; -1)
Керектүү сызыктын багыт вектору MN¯ге перпендикуляр болгондуктан, алардын скалярдык көбөйтүлүшү нөлгө барабар. Бул башкаруу векторунун белгисиз координаттарын (a; b) эсептөөгө мүмкүндүк берет:
a3 - b=0=>
b=3a
Эми вектордук теңдемени жаз:
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + λ(a; 3a)=>
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + β(1; 3)
Бул жерде биз aλ продуктуну жаңы β параметрине алмаштырдык.
Ошентип, сегменттин борборунан өткөн түз сызыктын теңдемесин түздүк.
