Стереометриядагы кеңири таралган маселелердин бири түз сызыктарды жана тегиздиктерди кесип өтүү жана алардын ортосундагы бурчтарды эсептөө милдеттери. Келгиле, бул макалада координаттар ыкмасы деп аталган ыкманы жана сызык менен тегиздиктин ортосундагы бурчтарды кененирээк карап чыгалы.
Геометрияда сызык жана тегиздик
Координата ыкмасын жана сызык менен тегиздиктин ортосундагы бурчту карап чыгуудан мурун, аталган геометриялык объекттер менен таанышып чыгышыңыз керек.
Сызык – бул мейкиндиктеги же тегиздиктеги чекиттердин мындай жыйындысы, алардын ар бири мурункуну белгилүү бир векторго сызыктуу өткөрүү аркылуу алынышы мүмкүн. Кийинкиде бул векторду u¯ символу менен белгилейбиз. Эгерде бул вектор нөлгө барабар болбогон каалаган санга көбөйтүлсө, анда u¯ге параллелдүү вектор алабыз. Сызык сызыктуу чексиз объект.
Тегиздик бул ошондой эле чекиттердин жыйындысы, эгерде алардан каалаган векторлорду түзсө, анда алардын баары кандайдыр бир n¯ векторуна перпендикуляр болот. Акыркысы нормалдуу же жөн эле нормалдуу деп аталат. Тегиздик түз сызыктан айырмаланып, эки өлчөмдүү чексиз объект.
Геометрия маселелерин чечүү үчүн координаттар ыкмасы
Методдун өзүнүн аталышына таянып, биз аналитикалык ырааттуу эсептөөлөрдү аткарууга негизделген маселелерди чечүү ыкмасы жөнүндө сөз болуп жатат деген тыянак чыгарууга болот. Башкача айтканда, координаттар ыкмасы универсалдуу алгебра куралдарын колдонуу менен геометриялык маселелерди чечүүгө мүмкүндүк берет, алардын негизгиси теңдеме.
Белгилей кетүүчү нерсе, каралып жаткан ыкма азыркы геометриянын жана алгебранын башында пайда болгон. Анын өнүгүшүнө 17-18-кылымдарда Рене Декарт, Пьер де Ферма, Исаак Ньютон жана Лейбниц чоң салым кошкон.
Усулдун маңызы – белгилүү чекиттердин координаталарынын негизинде геометриялык элементтердин аралыктарын, бурчтарын, аянттарын жана көлөмдөрүн эсептөө. Алынган акыркы теңдемелердин формасы координаттар системасына көз каранды экенин белгилей кетүү керек. Көбүнчө тик бурчтуу декарт системасы маселелерде колдонулат, анткени аны менен иштөө эң ыңгайлуу.
Саптык теңдеме
Координат ыкмасын жана сызык менен тегиздиктин ортосундагы бурчтарды карап чыгуу, келгиле, сызыктын теңдемесин орнотуудан баштайлы. Алгебралык формада сызыктарды көрсөтүүнүн бир нече жолу бар. Бул жерде биз вектордук теңдемени гана карап чыгабыз, анткени аны каалаган башка формада алууга болот жана аны менен иштөө оңой.
Эки чекит бар деп ойлойлу: P жана Q. Алар аркылуу сызык өткөрүүгө болору белгилүү жана алжалгыз болот. Элементтин тиешелүү математикалык көрүнүшү мындай көрүнөт:
(x, y, z)=P + λPQ¯.
Бул жерде PQ¯ - координаттары төмөнкүдөй алынган вектор:
PQ¯=Q - P.
λ символу каалаган санды кабыл ала турган параметрди билдирет.
Жазылган туюнтмада сиз вектордун багытын өзгөртө аласыз, ошондой эле P чекитинин ордуна Q координатасын коюңуз. Бул трансформациялардын баары сызыктын геометриялык ордун өзгөртүүгө алып келбейт.
Маселелерди чечүүдө кээде жазылган вектордук теңдемени ачык (параметрдик) формада көрсөтүү талап кылынарын эске алыңыз.
Космоско учак коюу
Түз сызык сыяктуу эле, тегиздик үчүн математикалык теңдемелердин бир нече формалары бар. Алардын ичинен векторду, сегменттердеги теңдемени жана жалпы форманы белгилейбиз. Бул макалада биз акыркы формага өзгөчө көңүл бурабыз.
Эрктүү тегиздик үчүн жалпы теңдеме төмөнкүчө жазылса болот:
Ax + By + Cz + D=0.
Латын баш тамгалары тегиздикти аныктаган белгилүү сандар.
Бул белгинин ынгайлуулугу - анда тегиздикке нормалдуу вектор ачык камтылган. Бул төмөнкүгө барабар:
n¯=(A, B, C).
Бул векторду билүү тегиздиктин теңдемесин кыскача карап, координаттар системасындагы акыркысынын ордун элестетүүгө мүмкүндүк берет.
Өз ара макулдашуусызык менен тегиздиктин мейкиндиги
Макаланын кийинки абзацында координаттар ыкмасын жана сызык менен тегиздиктин ортосундагы бурчту кароого өтөбүз. Бул жерде каралып жаткан геометриялык элементтер мейкиндикте кантип жайгаша алат деген суроого жооп беребиз. Үч жол бар:
- Түз сызык тегиздикти кесип өтөт. Координаттар ыкмасын колдонуп, сызык менен тегиздик кайсы бир чекитте кесилишкенин эсептей аласыз.
- Түз сызыктын тегиздиги параллель. Мында геометриялык элементтердин теңдемелер системасы чечими жок. Параллелдүүлүктү далилдөө үчүн адатта түз сызыктын багыттоочу векторунун скалярдык көбөйтүндүсүнүн касиети жана тегиздиктин нормалдуу касиети колдонулат.
- Учакта сызык бар. Бул учурда теңдемелер системасын чечип, λ параметринин каалаган мааниси үчүн туура теңдик алынат деген жыйынтыкка келебиз.
Экинчи жана үчүнчү учурларда көрсөтүлгөн геометриялык объекттердин ортосундагы бурч нөлгө барабар. Биринчи учурда, ал 0 менен 90o ортосунда болот.
Сызыктар менен тегиздиктердин ортосундагы бурчтарды эсептөө
Эми түз эле макаланын темасына өтөбүз. Сызык менен тегиздиктин ар кандай кесилиши кандайдыр бир бурчта болот. Бул бурч түз сызыктын өзү жана анын тегиздикке проекциясы аркылуу түзүлөт. Проекцияны алууга болот, эгерде түз сызыктын каалаган чекитинен тегиздикке перпендикуляр түшүрүлсө, андан кийин тегиздиктин кесилишкен чекити менен перпендикуляр жана тегиздик менен баштапкы сызыктын кесилишкен чекити аркылуу бир перпендикулярды тарткыла. проекция боло турган түз сызык.
Сызыктар менен тегиздиктердин ортосундагы бурчтарды эсептөө кыйын иш эмес. Аны чечүү үчүн тиешелүү геометриялык объекттердин теңдемелерин билүү жетиштүү. Бул теңдемелерди мындай дейли:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c);
Ax + By + Cz + D=0.
Керектүү бурч u¯ жана n¯ скалярдык векторлорунун көбөйтүндүсүнүн касиетин колдонуу менен оңой табылат. Акыркы формула мындай көрүнөт:
θ=arcsin(|(u¯n¯)|/(|u¯||n¯|)).
Бул формула сызык менен тегиздиктин ортосундагы бурчтун синусу белгиленген векторлордун скалярдык көбөйтүндүсүнүн модулунун алардын узундуктарынын көбөйтүндүсүнө болгон катышына барабар экенин айтат. Эмне үчүн косинустун ордуна синус пайда болгонун түшүнүү үчүн төмөндөгү фигурага кайрылалы.
Косинус функциясын колдонсок, u¯ жана n¯ векторлорунун ортосундагы бурчка ээ болорун көрүүгө болот. Керектүү бурч θ (сүрөттө α) төмөнкүчө алынат:
θ=90o- β.
Синус кыскартуу формулаларын колдонуунун натыйжасында пайда болот.
Мисал көйгөй
Алган билимди иш жүзүндө колдонууга өтөлү. Түз сызык менен тегиздиктин ортосундагы бурч боюнча типтүү маселени чечели. Төрт чекиттин төмөнкү координаттары берилген:
P=(1, -1, 0);
Q=(-1, 2, 2);
M=(0, 3, -1);
N=(-2, -1, 1).
Белгилүү болгондой, PQM пункттары аркылууал аркылуу тегиздик, ал эми МН аркылуу түз сызык өтөт. Координаттар ыкмасын колдонуу менен тегиздик менен сызыктын ортосундагы бурчту эсептөө керек.
Биринчи, түз сызык менен тегиздиктин теңдемелерин жазып алалы. Түз сызык үчүн аны түзүү оңой:
MN¯=(-2, -4, 2)=>
(x, y, z)=(0, 3, -1) + λ(-2, -4, 2).
Тегиздиктин теңдемесин түзүү үчүн алгач анын нормалын табабыз. Анын координаталары берилген тегиздикте жаткан эки вектордун вектордук көбөйтүндүсүнө барабар. Бизде:
PQ¯=(-2, 3, 2);
QM¯=(1, 1, -3)=>
n¯=[PQ¯QM¯]=(-11, -4, -5).
Эми анын ичиндеги каалаган чекиттин координаталарын жалпы тегиздиктин теңдемесине алмаштырып, эркин мүчөсүнүн D маанисин алалы:
P=(1, -1, 0);
- (Ax + By + Cz)=D=>
D=- (-11 + 4 + 0)=7.
Тегиздик теңдемеси:
11x + 4y + 5z - 7=0.
Маселеге жооп алуу үчүн түз сызык менен тегиздиктин кесилишинде пайда болгон бурчтун формуласын колдонуу калды. Бизде:
(u¯n¯)=(11, 4, 5)(-2, -4, 2)=-28;
|u¯|=√24; |n¯|=√162;
θ=arcsin(28/√(16224))=26, 68o.
Бул маселени мисал катары колдонуп, биз геометриялык маселелерди чечүү үчүн координаттар ыкмасын кантип колдонууну көрсөттүк.
