Тегиздик теңдемелери. Эки тегиздиктин ортосундагы бурч

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Акыркы өзгөртүү: 2024-01-02 17:51

Тегиздик чекит жана түз сызык менен бирге негизги геометриялык элемент болуп саналат. Аны колдонуу менен мейкиндик геометриясында көптөгөн фигуралар курулат. Бул макалада биз эки тегиздиктин ортосундагы бурчту кантип табуу керек деген суроону кененирээк карап чыгабыз.

Түшүнүк

Эки тегиздиктин ортосундагы бурч жөнүндө сөз кылуудан мурун, геометриянын кайсы элементи жөнүндө сөз болуп жатканын жакшы түшүнүшүңүз керек. Келгиле, терминологияны түшүнүп көрөлү. Учак - бул мейкиндиктеги чексиз чексиз жыйындысы, аларды бириктирип биз векторлорду алабыз. Акыркысы кандайдыр бир векторго перпендикуляр болот. Ал көбүнчө учак үчүн нормалдуу деп аталат.

Жогорудагы сүрөттө тегиздик жана ага эки нормалдуу вектор көрсөтүлгөн. Эки вектор тең бир түз сызыкта жатканын көрүүгө болот. Алардын ортосундагы бурч 180o.

Теңдемелер

Эки тегиздиктин ортосундагы бурчту, эгерде каралып жаткан геометриялык элементтин математикалык теңдемеси белгилүү болсо аныктоого болот. Мындай теңдемелердин бир нече түрү бар,аттары төмөндө келтирилген:

• жалпы түрү;
• вектор;
• сегменттерде.

Бул үч түрү ар кандай маселелерди чечүү үчүн эң ыңгайлуу, ошондуктан алар көбүнчө колдонулат.

Жалпы түрдөгү теңдеме төмөнкүдөй көрүнөт:

Ax + By + Cz + D=0.

Бул жерде x, y, z - берилген тегиздикке тиешелүү каалаган чекиттин координаттары. A, B, C жана D параметрлери сандар. Бул белгилөөнүн ыңгайлуулугу A, B, C сандары тегиздикке нормалдуу вектордун координаттары экендигинде.

Тегиздиктин вектордук формасын төмөнкүчө чагылдырууга болот:

x, y, z)=(x₀, y₀, z₀) + α(a₁, b₁, c₁) + β(a ₂, b₂, c_2).

Бул жерде (a₂, b₂, c₂) жана (a ₁, b₁, c₁) - каралып жаткан тегиздикке тиешелүү эки координаттык вектордун параметрлери. (x₀, y₀, z_{0) да ушул тегиздикте жатат. α жана β параметрлери көз карандысыз жана эркин маанилерди кабыл алышы мүмкүн.}

Акыры, сегменттердеги тегиздиктин теңдемеси төмөнкү математикалык формада берилген:

x/p + y/q + z/l=1.

Бул жерде p, q, l - конкреттүү сандар (анын ичинде терс сандар). Мындай теңдеме тик бурчтуу координаттар системасында тегиздикти сүрөттөө зарыл болгондо пайдалуу, анткени p, q, l сандары x, y жана z октору менен кесилишкен чекиттерди көрсөтөт.учак.

Теңдеменин ар бир түрүн жөнөкөй математикалык операцияларды колдонуу менен башка каалаган түргө айландырууга болорун эске алыңыз.

Эки тегиздиктин ортосундагы бурчтун формуласы

Эми төмөнкү нюансты карап көрүңүз. Үч өлчөмдүү мейкиндикте эки учак эки гана жол менен жайгаша алат. Же кесилишет же параллель болгула. Эки тегиздиктин ортосундагы бурч алардын багыттоочу векторлорунун ортосунда жайгашкан нерсе (нормалдуу). Кесилишкен 2 вектор 2 бурчту түзөт (жалпы учурда курч жана сүйрү). Тегиздиктердин ортосундагы бурч курч деп эсептелет. Теңдемени карап көрүңүз.

Эки тегиздиктин ортосундагы бурчтун формуласы:

θ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|)).

Бул туюнтма n₁¯ жана n₂ нормалдуу векторлорунун скалярдык көбөйтүндүсүнүн түз натыйжасы экенин болжолдоо оңой ¯ каралып жаткан учактар үчүн. Нумератордогу чекиттүү көбөйтүндүн модулу θ бурчу 0^o дан 90^{o чейин гана маанилерди кабыл ала турганын көрсөтөт. Бөлүүчүдөгү нормалдуу векторлордун модулдарынын көбөйтүлүшү алардын узундуктарынын көбөйтүндүсүн билдирет.}

Эскертүү, эгерде (n₁¯n_{2¯)=0 болсо, учактар туура бурчта кесилишет.}

Мисал көйгөй

Эки тегиздиктин ортосундагы бурч эмне деп аталарын таап, төмөнкү маселени чечебиз. Мисал катары. Ошентип, мындай тегиздиктердин ортосундагы бурчту эсептөө керек:

2x - 3y + 4=0;

(x, y, z)=(2, 0, -1) + α(1, 1, -1) + β(0, 2, 3).

Маселени чечүү үчүн сиз учактардын багыт векторлорун билишиңиз керек. Биринчи тегиздик үчүн нормалдуу вектор: n₁¯=(2, -3, 0). Экинчи тегиздик нормалдуу векторду табуу үчүн α жана β параметрлеринен кийинки векторлорду көбөйтүү керек. Натыйжада вектор: n_{2¯=(5, -3, 2).}

θ бурчун аныктоо үчүн мурунку абзацтагы формуланы колдонобуз. Биз алабыз:

θ=arccos (|((2, -3, 0)(5, -3, 2))|/(|(2, -3, 0)||(5, -3, 2)|))=

=arccos (19/√(1338))=0,5455 рад.

Радиандагы эсептелген бурч 31,26^o туура келет. Ошентип, маселенин шартындагы тегиздиктер 31, 26^{o бурчта кесилишет.}