Математика мугалимин угуп, көпчүлүк окуучулар материалды аксиома катары кабыл алышат. Ошол эле маалда аз гана адамдар түбүнө жетип, эмне үчүн “плюс” деген “минус” “минус” белгисин берип, эки терс санды көбөйткөндө оң чыгып жатканын түшүнүүгө аракет кылышат.
Математика мыйзамдары
Көпчүлүк чоңдор өздөрүнө же балдарына эмне үчүн мындай болгонун түшүндүрө алышпайт. Алар мектепте бул материалды жакшы өздөштүрүшкөн, бирок мындай эрежелер кайдан келгенин билүүгө аракет кылышкан да эмес. Бирок бекер. Көбүнчө, заманбап балдар анча ишенчээк эмес, алар иштин түбүнө жетип, түшүнүшү керек, мисалы, эмне үчүн "минус" боюнча "плюс" "минус" берет. Кээде чоңдор түшүнүктүү жооп бере албаган учурдан ырахат алуу үчүн атайылап татаал суроолорду беришет. Ал эми жаш мугалим баш аламандыкка кирип кетсе, бул чындап эле кырсык…
Айтмакчы, жогоруда айтылган эреже көбөйтүүгө да, бөлүүгө да жарактуу экенин белгилей кетүү керек. Терс жана оң сандын көбөйтүлүшү минус гана берет. Эгерде биз "-" белгиси бар эки сан жөнүндө сөз кыла турган болсок, анда натыйжа оң сан болот. Бөлүнүү үчүн да ушундай. Эгерсандардын бири терс болсо, анда бөлчөк да “-” белгиси менен болот.
Математиканын бул мыйзамынын тууралыгын түшүндүрүү үчүн шакекченин аксиомаларын түзүү керек. Бирок адегенде бул эмне экенин түшүнүшүңүз керек. Математикада эки элементи бар эки операция катышкан көптүктү шакекче деп аташ адат болуп саналат. Бирок муну бир мисал менен чечкен жакшы.
Шакек аксиомасы
Бир нече математикалык мыйзамдар бар.
- Биринчиси коммутативдик, анын айтымында, C + V=V + C.
- Экинчиси ассоциативдик (V + C) + D=V + (C + D) деп аталат.
Алар көбөйтүүгө да баш ийишет (V x C) x D=V x (C x D).
Кашаны ачуу эрежелерин эч ким жокко чыгарган жок (V + C) x D=V x D + C x D, C x (V + D)=C x V + C x D.
Мындан тышкары, шакекчеге кошуу жагынан нейтралдуу өзгөчө элемент киргизилиши мүмкүн экендиги аныкталды, аны колдонуу менен төмөнкүлөр туура болот: C + 0=C. Мындан тышкары, ар бир С үчүн карама-каршы элемент бар, аны (-C) катары белгилөөгө болот. Бул учурда, C + (-C)=0.
Терс сандар үчүн аксиомалардын туундусу
Жогорудагы айтылгандарды кабыл алып, суроого жооп бере алабыз: ""Плюс" менен "минус" кандай белгини берет? Терс сандарды көбөйтүү аксиомасын билүү менен чындап эле (-C) x V=-(C x V) экендигин ырастоо керек. Жана ошондой эле төмөнкү теңдик чындык: (-(-C))=C.
Бул үчүн, адегенде ар бир элементте бирден гана бар экенин далилдешибиз кереккаршы бир тууган. Төмөнкү далилдүү мисалды карап көрөлү. Келгиле, C - V жана D үчүн эки сан карама-каршы экенин элестетүүгө аракет кылалы. Мындан C + V=0 жана C + D=0, башкача айтканда, C + V=0=C + D болот. Жылышуу мыйзамдарын эстеп. жана 0 санынын касиеттери жөнүндө, биз бардык үч сандын суммасын карап чыга алабыз: C, V жана D. Келгиле, V маанисин аныктоого аракет кылалы. V=V + 0=V + (C +) деген логикалуу. D)=V + C + D, анткени жогоруда кабыл алынган C + D мааниси 0гө барабар. Демек, V=V + C + D.
D үчүн маани дал ушундай жол менен алынган: D=V + C + D=(V + C) + D=0 + D=D. Мунун негизинде V=D экени айкын болот..
Эмне үчүн "минустагы" "плюс" "минус" берерин түшүнүү үчүн төмөндөгүлөрдү түшүнүү керек. Демек, (-C) элементи үчүн карама-каршы C жана (-(-C)), башкача айтканда, алар бири-бирине барабар.
Ошондо 0 x V=(C + (-C)) x V=C x V + (-C) x V экени көрүнүп турат. Мындан C x V (-)C x карама-каршы экендиги көрүнүп турат. V, ошондуктан (-C) x V=-(C x V).
Толук математикалык катаалдуулук үчүн, ошондой эле ар кандай элемент үчүн 0 x V=0 экендигин ырастоо керек. Эгерде сиз логиканы кармансаңыз, анда 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V. Бул 0 x V продуктуну кошуу белгиленген сумманы эч кандай өзгөртө албайт дегенди билдирет. Анткени, бул продукт нөлгө барабар.
Бул аксиомалардын баарын билип туруп, сиз "минус" менен канча "плюс" берерин гана эмес, терс сандарды көбөйткөндө эмне болорун да чыгара аласыз.
"-" белгиси бар эки санды көбөйтүү жана бөлүү
Математикага терең кирбесеңизнюанстар болсо, сиз терс сандар менен операциялардын эрежелерин жөнөкөйраак түшүндүрүүгө аракет кылсаңыз болот.
С - (-V)=D деп коёлу, ошондуктан C=D + (-V), б.а. C=D - V. V өткөрүп, C + V=D алабыз. Башкача айтканда, C + V=C - (-V). Бул мисал катары менен эки "минус" бар сөз айкашында эмне үчүн аталган белгилер "плюс" болуп өзгөртүлүшү керек экенин түшүндүрөт. Эми көбөйтүүнү чечели.
(-C) x (-V)=D, сиз туюнтмага эки окшош көбөйтүндү кошуп же кемите аласыз, алар анын маанисин өзгөртпөйт: (-C) x (-V) + (C x V)) - (C x V)=D.
Каша менен иштөө эрежелерин эстеп, биз: алабыз
1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V=D;
2) (-C) x ((-V) + V) + C x V=D;
3) (-C) x 0 + C x V=D;
4) C x V=D.
С x V=(-C) x (-V).
Ошондой эле, эки терс санды бөлүү оң санга алып келерин далилдей алабыз.
Жалпы математика эрежелери
Албетте, бул түшүндүрмө абстракттуу терс сандарды жаңыдан үйрөнө баштаган башталгыч класстын окуучулары үчүн ылайыктуу эмес. Айнек аркылуу тааныш терминди башкарып, көзгө көрүнгөн объектилерде түшүндүрүп бергени жакшы. Мисалы, ойлоп табылган, бирок жок оюнчуктар ошол жерде жайгашкан. Алар "-" белгиси менен көрсөтүлүшү мүмкүн. Эки айнек объектинин көбөйүшү аларды башка дүйнөгө өткөрөт, ал азыркыга теңелген, башкача айтканда, натыйжада оң сандарыбыз бар. Бирок абстракттуу терс санды оң санга көбөйтүү бардыгына тааныш натыйжаны гана берет. Анткени "плюс""минус" менен көбөйтүү "минус" берет. Ырас, башталгыч мектеп курагында балдар бардык математикалык нюанстарды тереңдетүүгө аракет кылышпайт.
Бирок, эгер сиз чындыкка туш болсоңуз, көптөгөн адамдар үчүн, ал тургай жогорку билимдүү болсо да, көптөгөн эрежелер сыр бойдон калууда. Мугалимдер эмнени үйрөтсө, ар бир адам кадимкидей эле кабыл алат, бирок математика толуп жаткан бардык татаалдыктарга тереңдеп кирүүдөн качпайт. "Минус" боюнча "минус" "плюс" берет - бул тууралуу бардыгы билет. Бул бүтүн жана бөлчөк сандар үчүн да туура.
