Өзгөрмөлөр деген эмне? Математикадагы өзгөрмө

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Акыркы өзгөртүү: 2024-01-02 17:51

Математикада өзгөрмөлөрдүн мааниси чоң, анткени ал бар мезгилде илимпоздор бул жаатта көптөгөн ачылыштарды жасоого жетишкен жана тигил же бул теореманы кыска жана так айтуу үчүн биз өзгөрмөлөрдүн жардамы менен тиешелүү формулаларды жазабыз.. Мисалы, тик бурчтук боюнча Пифагор теоремасы: a² =b² + c^{2. Маселени чечүүдө ар бир жолу кантип жазуу керек: Пифагор теоремасы боюнча, гипотенузанын квадраты буттардын квадраттарынын суммасына барабар - муну формула менен жазабыз, ошондо баары дароо түшүнүктүү болуп калат.}

Ошентип, бул макалада өзгөрмөлөр, алардын түрлөрү жана касиеттери талкууланат. Ар кандай математикалык туюнтмалар да каралат: теңсиздиктер, формулалар, системалар жана аларды чечүүнүн алгоритмдери.

Өзгөрмө түшүнүгү

Биринчиден, өзгөрмө деген эмне? Бул көптөгөн баалуулуктарды ала турган сандык маани. Бул туруктуу болушу мүмкүн эмес, анткени ар кандай маселелерде жана теңдемелерде ыңгайлуулук үчүн биз чечимдерди кабыл алабызөзгөрмө ар кандай сандар, башкача айтканда, z бул алынган чоңдуктардын ар бири үчүн жалпы белги. Адатта алар латын же грек алфавитинин тамгалары менен белгиленет (x, y, a, b, ж.б.).

Өзгөрмөлөрдүн ар кандай түрлөрү бар. Алар кээ бир физикалык чоңдуктарды - жол (S), убакытты (t) жана теңдемелерде, функцияларда жана башка туюнтмаларда жөн эле белгисиз маанилерди коюшат.

Мисалы, формула бар: S=Vt. Бул жерде өзгөрмөлөр реалдуу дүйнөгө тиешелүү белгилүү чоңдуктарды - жолду, ылдамдыкты жана убакытты билдирет.

Жана формадагы теңдеме бар: 3x - 16=12x. Бул жерде х мурунтан эле абстракттуу сан катары кабыл алынган, бул белгилөөдө мааниси бар.

Өлчөмдөрдүн түрлөрү

Сумма белгилүү бир нерсенин, заттын же кубулуштун касиеттерин билдирген нерсени билдирет. Мисалы, абанын температурасы, жаныбардын салмагы, таблеткадагы витаминдердин пайызы - мунун баары сандык маанилерин эсептей турган чоңдуктар.

Ар бир чоңдуктун өзүнүн өлчөө бирдиктери бар, алар чогуу системаны түзөт. Ал санауу системасы (SI) деп аталат.

Өзгөрмөлөр жана туруктуулар деген эмне? Аларды конкреттүү мисалдар менен карап көрөлү.

Түз сызыктуу бирдей кыймылды алалы. Космостогу чекит ар дайым бирдей ылдамдыкта кыймылдайт. Башкача айтканда, убакыт жана аралык өзгөрөт, бирок ылдамдыгы ошол эле бойдон калууда. Бул мисалда убакыт жана аралык өзгөрмөлөр, ал эми ылдамдык туруктуу.

Же, мисалы, "pi". Бул кайталанбай уланган иррационалдуу санцифралардын ырааттуулугу жана толук жазылбайт, ошондуктан математикада ал берилген чексиз бөлчөктүн маанисин гана кабыл алган жалпы кабыл алынган символ менен туюнтулат. Башкача айтканда, “pi” туруктуу маани.

Тарых

Өзгөрмөлөрдү белгилөө тарыхы XVII кылымда окумуштуу Рене Декарттан башталат.

Белгилүү маанилерди алфавиттин биринчи тамгалары менен белгилеген: a, b жана башкалар, ал эми белгисиз үчүн акыркы тамгаларды колдонууну сунуш кылган: x, y, z. Белгилей кетчү нерсе, Декарт мындай өзгөрмөлөрдү терс эмес сандар деп эсептеп, терс параметрлерге туш болгондо ал өзгөрмөнүн алдына минус белгисин, ал эми сандын кайсы белгиси экени белгисиз болсо эллипсти койгон. Бирок убакыттын өтүшү менен өзгөрмөлөрдүн аттары кандайдыр бир белгинин сандарын билдире баштаган жана бул математик Иоганн Хаддеден башталган.

Өзгөрмөлөр менен математикадагы эсептөөлөрдү чечүү оңой, анткени, мисалы, биз азыр биквадраттык теңдемелерди кантип чечебиз? Биз өзгөрмө киргизебиз. Мисалы:

x⁴ + 15x^{2 + 7=0}

x2 үчүн биз бир аз k алабыз, ошондо теңдеме айкын болот:

x2=k, к ≧ 0 үчүн

k2 + 15k + 7=0

Өзгөрмөлөрдү киргизүү математикага ушуну алып келет.

Теңсиздиктер, чечимдердин мисалдары

Теңсиздик – бул эки математикалык туюнтма же эки сан салыштыруу белгилери менен байланышкан жазуу:, ≦, ≧. Алар катуу жана белгилер менен белгиленет же ≦, ≧ белгилери менен катаал эмес.

Бул белгилер биринчи жолу киргизилдиТомас Харриот. Томас өлгөндөн кийин анын мындай белгилер менен китеби басылып чыгып, математиктерге жагып, убакыттын өтүшү менен алар математикалык эсептөөлөрдө кеңири колдонула баштаган.

Бир өзгөрмөлүү теңсиздикти чечүүдө бир нече эрежелерди кармануу керек:

Санды теңсиздиктин бир бөлүгүнөн экинчисине которууда анын белгисин карама-каршысына өзгөртүңүз.
Теңсиздиктин бөлүктөрүн терс санга көбөйтүүдө же бөлүүдө алардын белгилери тескери болот.
Эгер теңсиздиктин эки тарабын тең оң санга көбөйтсө же бөлсө, анда баштапкыга барабар барабарсыздык чыгат.

Теңсиздикти чечүү өзгөрмө үчүн бардык жарактуу маанилерди табуу дегенди билдирет.

Бир өзгөрмө мисал:

10x - 50 > 150

Биз аны кадимки сызыктуу теңдеме сыяктуу чечебиз - өзгөрмөлүү мүчөлөрдү солго, өзгөргүчсүз - оңго жылдырабыз жана окшош терминдерди беребиз:

10x > 200

Теңсиздиктин эки тарабын 10го бөлүп, төмөнкүнү алабыз:

x > 20

Түшүнүктүү болушу үчүн, бир өзгөрмөлүү теңсиздикти чечүү мисалында, сан сызыгын чийип, ага тешилүүчү 20 чекитти белгилеңиз, анткени теңсиздик катаал жана бул сан анын чечимдеринин жыйындысына кирбейт..

Бул теңсиздиктин чечими интервал (20; +∞).

Катуу эмес теңсиздикти чечүү катаал теңсиздик сыяктуу эле ишке ашырылат:

6x - 12 ≧ 18

6x ≧ 30

x ≧ 5

Бирок бир өзгөчөлүк бар. x ≧ 5 формасындагы жазууну төмөнкүдөй түшүнүү керек: x бештен чоң же барабар, башкача айткандабеш саны теңсиздиктин бардык чечимдеринин жыйындысына кирет, башкача айтканда жоопту жазганда беш сандын алдына төрт бурчтуу кашаа коёбуз.

x ∈ [5; +∞)

Квадрат барабарсыздыктар

Эгер ax2 + bx +c=0 түрүндөгү квадраттык теңдемени алып, андагы барабардык белгисин теңсиздик белгисине алмаштырсак, анда биз тиешелүү түрдө квадраттык теңсиздик.

Квадраттык теңсиздикти чечүү үчүн квадраттык теңдемелерди чече билишиңиз керек.

y=ax2 + bx + c квадраттык функция. Биз аны дискриминанттын жардамы менен же Vieta теоремасын колдонуп чечсек болот. Бул теңдемелердин кантип чечилгенин эстеңиз:

1) y=x2 + 12x + 11 - функция парабола. Анын бутактары өйдө багытталган, анткени "a" коэффициентинин белгиси оң.

2) x2 + 12x + 11=0 - нөлгө барабар жана дискриминанттын жардамы менен чечүү.

a=1, b=12, c=11

D=b2 - 4ac=144 - 44=100 > 0, 2 тамыр

Квадрат теңдеменин тамырларынын формуласына ылайык:

x₁ =-1, x_2=-11

Же бул теңдемени Vieta теоремасын колдонуп чечсеңиз болот:

x₁ + x₂ =-b/a, x₁ + x _2=-12

x₁x₂ =c/a, x₁x₂₌₁₁

Тандоо ыкмасын колдонуп, теңдеменин ошол эле тамырларын алабыз.

Парабола

Демек, квадраттык теңсиздикти чечүүнүн биринчи жолу - парабола. Аны чечүү алгоритми төмөнкүдөй:

1. Параболанын бутактары кайда багытталганын аныктаңыз.

2. Функцияны нөлгө теңеп, теңдеменин тамырларын табыңыз.

3. Сан сызыгын курабыз, анын түбүн белгилейбиз, параболаны чийебиз жана теңсиздиктин белгисине жараша керектүү боштукту табабыз.

Теңсиздикти чечиңиз x2 + x - 12 > 0

Функция катары жаз:

1) y=x2 + x - 12 - парабола, бутактары өйдө.

Нөлгө коюлду.

2) x2 + x -12=0

Кийин, квадраттык теңдеме катары чечип, функциянын нөлдөрүн табабыз:

x₁ =3, x_2=-4

3) 3 жана -4 чекиттери бар сан сызыгын тартыңыз. Парабола алар аркылуу өтүп, бутактарга бөлүнөт жана теңсиздиктин жообу оң маанилердин жыйындысы болот, башкача айтканда, (-∞; -4), (3; +∞).

Интервал ыкмасы

Экинчи жол - аралык ыкмасы. Аны чечүү алгоритми:

1. Теңсиздиги нөлгө барабар болгон теңдеменин тамырларын табыңыз.

2. Биз аларды сан сызыгында белгилейбиз. Ошентип, ал бир нече интервалга бөлүнөт.

3. Каалаган интервалдын белгисин аныктаңыз.

4. Белгилерди бирден кийин алмаштырып, калган аралыктарга жайгаштырабыз.

Теңсиздикти чечиңиз (x - 4)(x - 5)(x + 7) ≦ 0

1) Теңсиздик нөлдөрү: 4, 5 жана -7.

2) Аларды сан сызыгына тарт.

3) Интервалдардын белгилерин аныктаңыз.

Жооп: (-∞; -7]; [4; 5].

Дагы бир теңсиздикти чечиңиз: x2(3x - 6)(x + 2)(x - 1) > 0

1. Теңсиздик нөлдөрү: 0, 2, -2 жана 1.

2. Аларды сан сызыгында белгилеңиз.

3. Интервал белгилерин аныктоо.

Сап интервалдарга бөлүнөт - -2ден 0гө чейин, 0дөн 1ге чейин, 1ден 2ге чейин.

Биринчи интервалдагы маанини алыңыз - (-1). Теңсиздикте алмаштыруу. Бул маани менен теңсиздик оң болуп калат, бул бул интервалдагы белги + болот.

Мындан ары, биринчи боштуктан баштап, белгилерди иреттеп, бирден кийин алмаштырабыз.

Теңсиздик нөлдөн чоң, башкача айтканда, сызыктан оң маанилердин топтомун табышыңыз керек.

Жооп: (-2; 0), (1; 2).

Теңдемелер системасы

Эки өзгөрмөлүү теңдемелер системасы тармал кашаа менен бириктирилген эки теңдеме, алар үчүн жалпы чечим табуу керек.

Эгер алардын биринин жалпы чечими экинчисинин чечими болсо же экөөнүн тең чечими жок болсо, системалар эквиваленттүү болушу мүмкүн.

Биз эки өзгөрмөлүү теңдемелер системасынын чечимдерин изилдейбиз. Аларды чечүүнүн эки жолу бар - алмаштыруу ыкмасы же алгебралык ыкма.

Алгебралык метод

Сүрөттө көрсөтүлгөн системаны бул ыкманы колдонуу менен чечүү үчүн, адегенде анын бир бөлүгүн ушундай санга көбөйтүү керек, ошондо теңдеменин эки бөлүгүнөн бир өзгөрмөнү өз ара жокко чыгара аласыз. Бул жерде биз үчкө көбөйтүп, системанын астына сызык сызып, анын бөлүктөрүн кошобуз. Натыйжада, х модулу боюнча бирдей, бирок белгиси боюнча карама-каршы болуп, аларды азайтабыз. Андан кийин бир өзгөрмөлүү сызыктуу теңдемени алабыз жана аны чечебиз.

Биз Yны таптык, бирок ушуну менен токтой албайбыз, анткени биз Xти али таба элекпиз. алмаштырууY X алып салуу ыңгайлуу боло турган бөлүгүнө, мисалы:

-x + 5y=8, y=1 менен

-x + 5=8

Натыйжадагы теңдемени чыгарып, х табыңыз.

-x=-5 + 8

-x=3

x=-3

Системаны чечүүдө эң негизгиси жоопту туура жазуу. Көптөгөн студенттер ката жазышат:

Жооп: -3, 1.

Бирок бул туура эмес жазуу. Анткени, жогоруда айтылгандай, теңдемелер системасын чечүүдө биз анын бөлүктөрү үчүн жалпы чечимди издейбиз. Туура жооп:

(-3; 1)