Татаал сандар: аныктама жана негизги түшүнүктөр

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Акыркы өзгөртүү: 2023-12-17 05:34

Квадрат теңдеменин касиеттерин изилдөөдө чектөө коюлган - нөлдөн азыраак дискриминант үчүн чечим жок. Сөз реалдуу сандардын жыйындысы жөнүндө болуп жаткандыгы дароо шартталган. Математиктин изденүүчү акылы кызык болот - чыныгы баалуулуктар жөнүндөгү пункттун сыры эмнеде?

Убакыттын өтүшү менен математиктер комплекстүү сандар түшүнүгүн киргизишкен, мында минус бирдин экинчи тамырынын шарттуу мааниси бирдик катары алынат.

Тарыхый маалымат

Математикалык теория жөнөкөйдөн татаалга карай ырааттуу өнүгөт. Келгиле, "татаал сан" деп аталган түшүнүк кантип пайда болгонун жана ал эмне үчүн керек экенин карап көрөлү.

Байыркы убактан бери математиканын негизин кадимки эсеп болгон. Изилдөөчүлөр баалуулуктардын табигый жыйындысын гана билишкен. Кошуу жана кемитүү жөнөкөй эле. Экономикалык байланыштар татаалдашып кеткендиктен, бир эле баалуулуктарды кошуунун ордуна көбөйтүү колдонула баштаган. үчүн тескери операция баркөбөйтүү - бөлүү.

Натурал сан түшүнүгү арифметикалык амалдарды колдонууну чектеди. Бүтүн сандардын көптүгү боюнча бөлүү маселелерин чечүү мүмкүн эмес. Бөлчөктөр менен иштөө адегенде рационалдуу чоңдуктар түшүнүгүнө, андан соң иррационалдык чоңдуктарга алып келди. Эгерде рационалдуу үчүн чекиттин сызыктагы так ордун көрсөтүү мүмкүн болсо, иррационалдык үчүн мындай чекитти көрсөтүү мүмкүн эмес. Сиз интервалды гана болжолдой аласыз. Рационалдуу жана иррационалдык сандардын биригиши реалдуу көптүктү түздү, ал берилген масштабдагы белгилүү сызык катары көрсөтүлүшү мүмкүн. Сызыктын ар бир кадамы натурал сан жана алардын ортосунда рационалдуу жана иррационалдык маанилер болот.

Теориялык математиканын доору башталды. Астрономиянын, механиканын, физиканын өнүгүшү барган сайын татаал теңдемелерди чечүүнү талап кылган. Жалпысынан квадраттык теңдеменин тамырлары табылган. Бир кыйла татаал куб полиномду чечүүдө окумуштуулар карама-каршылыкка туш болушту. Терс түпкү куб тамыр түшүнүгү мааниси бар, бирок квадрат тамыр үчүн белгисиздик алынат. Мындан тышкары, квадраттык теңдеме кубдун өзгөчө учуру гана.

1545-жылы италиялык Ж. Кардано элестүү сан түшүнүгүн киргизүүнү сунуш кылган.

Бул сан минус бирдин экинчи түбү. Комплекстүү сан термини үч жүз жылдан кийин гана белгилүү математик Гаусстун эмгектеринде түптөлгөн. Ал формалдуу түрдө алгебранын бардык мыйзамдарын элестүү санга чейин кеңейтүүнү сунуш кылган. реалдуу линия чейин узартылдыучактар. Дүйнө чоңураак.

Негизги түшүнүктөр

Чыныгы топтомдо чектөөлөрү бар бир катар функцияларды кайра чакырыңыз:

y=arcsin(x), терс жана оң 1 ортосунда аныкталган.
y=ln(x), ондук логарифм оң аргументтер менен мааниге ээ.
чарчы тамыр y=√x, x ≧ 0 үчүн гана эсептелет.

I=√(-1) деп белгилөө менен, биз ойдон чыгарылган сан сыяктуу түшүнүктү киргизебиз, бул жогорудагы функцияларды аныктоо доменинен бардык чектөөлөрдү алып салат. y=arcsin(2), y=ln(-4), y=√(-5) сыяктуу туюнтмалар татаал сандардын кээ бир мейкиндигинде мааниге ээ.

Алгебралык форманы чыныгы x жана y маанилеринин жыйындысында z=x + i×y туюнтмасы түрүндө жазууга болот, жана i² =-1.

Жаңы концепция ар кандай алгебралык функцияны колдонуудагы бардык чектөөлөрдү алып салат жана реалдуу жана элестүү маанилердин координаттары боюнча түз сызыктын графигине окшош.

Татаал учак

Татаал сандардын геометриялык формасы визуалдык түрдө алардын көптөгөн касиеттерин көрсөтүүгө мүмкүндүк берет. Re(z) огунда чыныгы x маанилерин, Im(z) боюнча - yнин элестүү маанилерин белгилейбиз, андан кийин тегиздиктеги z чекити талап кылынган комплекстүү маанини көрсөтөт.

комплекстүү сандын геометриялык көрүнүшү

Аныктамалар:

Re(z) - реалдуу огу.
Im(z) - элестүү огу билдирет.
z - татаал сандын шарттуу чекити.
Вектордун нөлдөн zке чейинки узундугунун сандык мааниси деп аталатмодулу.
Чыныгы жана элестүү октор учакты төрттөн бөлөт. Координаттардын оң мааниси менен - I квартал. Чыныгы октун аргументи 0дөн аз, ал эми элестүү огу 0дөн чоң болгондо - II квартал. Координаттар терс болгондо - III квартал. Акыркы, төртүнчү чейрек көптөгөн оң реалдуу баалуулуктарды жана терс элестүү маанилерди камтыйт.

Ошентип, x жана y координаттарынын маанилери бар тегиздикте комплекстүү сандын чекитин ар дайым элестетүүгө болот. i символу чыныгы бөлүктү ойдон чыгарылгандан бөлүү үчүн киргизилген.

Касиеттер

Элестүү аргументтин мааниси нөлгө барабар болгондо, биз жөн гана санды алабыз (z=x), ал чыныгы огунда жайгашкан жана чыныгы көптүккө таандык.
Чыныгы аргументтин мааниси нөлгө айланган өзгөчө учур, z=i×y туюнтмасы чекиттин ойдон чыгарылган огуна туура келет.
z=x + i×y жалпы түрү аргументтердин нөл эмес маанилери үчүн болот. Чейректердин биринде комплекстүү санды мүнөздөгөн чекиттин жайгашкан жерин көрсөтөт.

Тригонометриялык белгилер

Уюлдук координаттар системасын жана sin жана cos тригонометриялык функцияларынын аныктамасын эстеп. Бул функциялардын жардамы менен тегиздиктин каалаган чекитинин жайгашкан жерин сүрөттөө мүмкүн экендиги айдан ачык. Бул үчүн полярдык нурдун узундугун жана чыныгы огуна эңкейиш бурчун билүү жетиштүү.

Аныктама. ∣z ∣ түрүндөгү жазуу cos(ϴ) тригонометриялык функциялардын жана i ×sin(ϴ) элестүү бөлүгүнүн суммасына көбөйтүлгөн тригонометриялык комплекстүү сан деп аталат. Бул жерде белгилөө чыныгы огуна эңкейүү бурчу

ϴ=arg(z) жана r=∣z∣, нурдун узундугу.

Тригонометриялык функциялардын аныктамасынан жана касиеттеринен абдан маанилүү Moivre формуласы төмөнкүдөй:

zⁿ =r × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ)).

Бул формуланы колдонуу менен тригонометриялык функцияларды камтыган көптөгөн теңдеме системаларын чыгаруу ыңгайлуу. Айрыкча бийликти көтөрүү маселеси жаралганда.

Модуль жана фаза

Татаал топтомдун сүрөттөлүшүн аягына чыгаруу үчүн биз эки маанилүү аныктаманы сунуштайбыз.

Пифагор теоремасын билүү менен полярдык координаттар системасындагы нурдун узундугун эсептөө оңой.

r=∣z∣=√(x² + y²), татаал мейкиндиктеги мындай белги "" деп аталат. модулу" жана 0дөн тегиздиктеги чекитке чейинки аралыкты мүнөздөйт.

Татаал нурдун чыныгы ϴ сызыгына эңкейиш бурчу көбүнчө фаза деп аталат.

Аныктама реалдуу жана элестүү бөлүктөр циклдик функцияларды колдонуу менен сүрөттөлөрүн көрсөтүп турат. Тактап айтканда:

x=r × cos(ϴ);
y=r × sin(ϴ);

Тескерисинче, фаза алгебралык маанилерге формула аркылуу байланышат:

ϴ=arctan(x / y) + µ, µ оңдоо геометриялык функциялардын мезгилдүүлүгүн эске алуу үчүн киргизилди.

Эйлер формуласы

Математиктер экспоненциалдык форманы көп колдонушат. Татаал тегиздик сандар

туюнтмалары катары жазылат

z=r × eⁱ^×^ϴ , бул Эйлер формуласынан келип чыккан.

Бул жазуу физикалык чоңдуктарды практикалык эсептөө үчүн кеңири колдонулат. Формада презентация формасыэкспоненциалдык комплекс сандар инженердик эсептөөлөр үчүн өзгөчө ыңгайлуу, мында синусоидалдык ток менен чынжырларды эсептөө зарыл болуп калат жана функциялардын берилген мезгили менен интегралдарынын маанисин билүү зарыл. Эсептөөлөрдүн өзү ар кандай машиналарды жана механизмдерди конструкциялоодо курал катары кызмат кылат.

Операцияларды аныктоо

Белгиленгендей, негизги математикалык функциялар менен иштөөнүн бардык алгебралык мыйзамдары комплекстүү сандарга колдонулат.

Коомдук операция

Татаал маанилерди кошкондо алардын чыныгы жана элестүү бөлүктөрү да кошулат.

z=z₁ + z₂ мында z₁ жана z2 _{- жалпы комплекс сандар. Туундуну өзгөртүп, кашааларды ачып, белгини жөнөкөйлөткөндөн кийин, чыныгы аргументин алабыз x=(x}1 _{+ x}2_{), элестүү аргументи y=(y 1} + y₂).

Графикте ал белгилүү параллелограмм эрежеси боюнча эки вектордун кошулушу сыяктуу көрүнөт.

Кемирүү операциясы

Кошуунун өзгөчө учуру катары каралат, бир сан оң, экинчиси терс, башкача айтканда күзгү чейрегинде жайгашкан. Алгебралык белгилер чыныгы жана элестүү бөлүктөрүнүн ортосундагы айырмага окшош.

z=z₁ - z₂, же аргументтердин маанилерин эске алуу менен, кошумчага окшош операция, биз чыныгы маанилер үчүн алабыз x=(x₁ - x₂) жана элестүү y=(y₁- y₂).

Татаал тегиздикте көбөйтүү

Көп мүчөлөр менен иштөө эрежелерин колдонуп, формуланы чыгарабызтатаал сандарды чечүү.

Жалпы алгебралык эрежелерди сактоо менен z=z₁×z₂, ар бир аргументти сүрөттөп, окшошторду тизмектеңиз. Чыныгы жана ойдон чыгарылган бөлүктөр мындайча жазылышы мүмкүн:

x=x₁ × x₂ - y₁ × y₂,
y=x₁ × y₂ + x₂ × y _1.

Экспоненциалдык комплекс сандарды колдонсок, ал сулуураак көрүнөт.

Туфайлма мындай көрүнөт: z=z₁ × z₂ =r₁ × eⁱ^ϴ¹ × r₂ × eiϴ2^=r1 _{× r2} × e_i(^ϴ¹⁺^ϴ2).

Андан ары, модулдар көбөйтүлүп, фазалар кошулат.

Бөлүм

Бөлүү операциясын көбөйтүүнүн тескери операциясы катары караганыбызда экспоненциалдык белгилердеги жөнөкөй туюнтманы алабыз. z₁ маанисин z₂ менен бөлүү алардын модулдарын жана фазалар айырмасын бөлүүнүн натыйжасы болуп саналат. Формалдуу түрдө, комплекстүү сандардын экспоненциалдык формасын колдонгондо, мындай көрүнөт:

z=z₁ / z₂ =r₁ × e ⁱ^ϴ¹ / r₂ × eⁱ ^ϴ²=r₁ / r_{2× e}i(ϴ1-ϴ 2).

Алгебралык белгилер түрүндө комплекстүү тегиздиктин сандарын бөлүү операциясы бир аз татаалыраак жазылат:

z=z₁ / z_2.

Аргументтерди сыпаттоо жана полиномдук трансформацияларды аткаруу менен баалуулуктарды алуу оңойx=x₁ × x₂ + y₁ × y₂, тиешелүүлүгүнө жараша y=x₂ × y₁ - x₁ × y₂ , бирок сүрөттөлгөн мейкиндикте бул туюнтма z₂ ≠ 0 болсо, мааниси бар.

Тамырды чыгаруу

Жогорудагылардын бардыгы татаалыраак алгебралык функцияларды аныктоодо колдонулушу мүмкүн - каалаган даражага көтөрүү жана ага тескери - тамырды алуу.

n күчүн жогорулатуунун жалпы түшүнүгүн колдонуп, биз аныктаманы алабыз:

zⁿ =(r × eⁱ^ϴ).

Жалпы касиеттерди колдонуп, төмөнкүдөй кайра жазыңыз:

zⁿ =rⁿ × eⁱ^ϴ.

Бизде татаал санды чоңдукка чыгаруу үчүн жөнөкөй формула алдык.

Даражанын аныктамасынан биз абдан маанилүү натыйжаны алабыз. Элестетүү бирдиктин жуп күчү дайыма 1. Элестетүү бирдиктин так күчү дайыма -1 болот.

Эми тескери функцияны изилдеп көрөлү – тамырды чыгаруу.

Белгилөөнүн оңой болушу үчүн n=2ди алалы. С комплекстүү тегиздигинде z комплекстүү маанисинин w квадрат тамыры z=± туюнтмасы болуп эсептелет, андан чоң же барабар болгон ар кандай реалдуу аргумент үчүн жарактуу. нөл. w ≦ 0 үчүн эч кандай чечим жок.

Эң жөнөкөй квадраттык теңдемени карайлы z² =1. Татаал сандар формулаларын колдонуп, r² × eⁱ^2ϴ =r² × eⁱ^2ϴ=ei0^{. Жазмадан көрүнүп тургандай, r}2 ^{=1 жана ϴ=0, демек, бизде 1ге барабар уникалдуу чечим бар. Бирок бул z=-1 квадрат тамырдын аныктамасына да туура келет деген түшүнүккө карама-каршы келет.}

Эмнелерди эске албай турганыбызды аныктап алалы. Эгерде биз тригонометриялык белгини эстесек, анда билдирүүнү калыбына келтиребиз - ϴ фазасынын мезгилдүү өзгөрүшү менен комплекстик сан өзгөрбөйт. p мезгилдин маанисин билдирсин, анда бизде r² × eⁱ^2ϴ =ei(0+p)^{, кайдан 2ϴ=0 + p, же ϴ=p / 2. Демек, e}i0 ^{=1 жана e}i^p^/2 =-1. Биз экинчи чечимди алдык, ал чарчы тамырдын жалпы түшүнүгүнө туура келет.

Ошентип, татаал сандын ыктыярдуу тамырын табуу үчүн процедураны аткарабыз.

Экспоненциалдык форманы жазыңыз w=∣w∣ × eⁱ⁽^arg (w) + pk), k – эркин бүтүн сан.
Керектүү сан Эйлер түрүндө да көрсөтүлөт z=r × eⁱ^ϴ.
Тамырды чыгаруу функциясынын жалпы аныктамасын колдонуңуз r eⁱ ϴ ^{=∣w∣ × e}i(arg(w) + pk).
Модулдардын жана аргументтердин теңдигинин жалпы касиеттеринен rⁿ =∣w∣ жана nϴ=arg (w) + p×k деп жазабыз.
Татаал сандын тамырынын акыркы жазуусу z=√∣w∣ × eⁱ ^{формуласы менен сүрөттөлөт (} ^arg (w) + pk ^{) /} .
Эскертүү. ∣w∣ мааниси, аныктама боюнча,оң реалдуу сан, андыктан ар кандай даражанын тамыры мааниге ээ.

Талаа жана конъюгация

Жыйынтыктап айтканда, комплекстүү сандар менен прикладдык маселелерди чечүү үчүн анча маанилүү болбогон, бирок математикалык теорияны андан ары өнүктүрүү үчүн маанилүү болгон эки маанилүү аныктаманы беребиз.

Кошуу жана көбөйтүү туюнтмалары z комплекстүү тегиздигинин каалаган элементтери үчүн аксиомаларды канааттандырса, талаа түзүлөт деп айтылат:

Татаал сумма татаал терминдердин ордун алмаштыруудан өзгөрбөйт.
Келишим чын - татаал туюнтмада эки сандын каалаган суммасын алардын мааниси менен алмаштырууга болот.
z + 0=0 + z=z туура болгон нейтралдуу 0 мааниси бар.
Кандай болбосун z үчүн карама-каршы - z бар, ага кошумча нөл берет.
Татаал факторлордун ордун алмаштырууда татаал продукт өзгөрбөйт.
Кандай эки сандын көбөйтүлүшүн алардын мааниси менен алмаштырууга болот.
Нейтралдуу маани 1 бар, аны көбөйтүү татаал санды өзгөртпөйт.
Ар бир z ≠ 0 үчүн z^-1 тескериси бар, ал 1ге көбөйөт.
Эки сандын суммасын үчтөн бирине көбөйтүү, алардын ар бирин ушул санга көбөйтүү жана натыйжаларды кошуу операциясына барабар.
0 ≠ 1.

z₁ =x + i×y жана z₂ =x - i×y сандары коньюгат деп аталат.

Теорема. Конъюгация үчүн билдирүү туура:

Сундунун конъюгациясы конъюгациялык элементтердин суммасына барабар.
Өнүмдүн конъюгаты болуп саналатконъюгациялардын продуктусу.
Конъюгациянын конъюгациясы сандын өзүнө барабар.

Жалпы алгебрада мындай касиеттер талаа автоморфизмдери деп аталат.

Мисалдар

Татаал сандардын берилген эрежелерин жана формулаларын сактоо менен, алар менен оңой иштей аласыз.

Эң жөнөкөй мисалдарды карап көрөлү.

Маселе 1. 3y +5 x i=15 - 7i теңдемесин колдонуп, x менен уду аныктаңыз.

Чечим. Комплекстүү теңдиктердин аныктамасын эске салалы, анда 3y=15, 5x=-7. Демек, x=-7 / 5, y=5.

2-тапшырма. 2 + i²⁸ жана 1 + i¹³⁵ маанилерин эсептеңиз.

Чечим. Албетте, 28 - жуп сан, комплекстүү сандын аныктамасынын натыйжасынан бизде i²⁸ =1, демек 2 + i ^{туюнтмасы 28} =3. Экинчи маани, i¹³⁵ =-1, андан кийин 1 + i¹³⁵ =0.

3-тапшырма. 2 + 5i жана 4 + 3i маанилеринин көбөйтүндүсүн эсептеңиз.

Чечим. Татаал сандарды көбөйтүүнүн жалпы касиеттеринен (2 + 5i)X(4 + 3i)=8 - 15 + i(6 + 20) ды алабыз. Жаңы маани -7 + 26i болот.

4-тапшырма. z³ =-i.

теңдемесинин тамырларын эсептеңиз

Чечим. Татаал санды табуунун бир нече жолу бар. Келгиле, мүмкүн болгон бирин карап көрөлү. Аныктама боюнча, ∣ - i∣=1, -i үчүн фаза -p / 4. Баштапкы теңдемени r³e^{i катары кайра жазууга болот.}3ϴ ^=e-p/4+pk^{, бул жерден z=e}-p / 12 + pk/3^{, каалаган бүтүн k. үчүн}

Чечим топтомунун формасы бар (e^-^ip/12,e^ip^/4, eⁱ² ^p/3).

Бизге татаал сандар эмне үчүн керек

Тарых көптөгөн мисалдарды билет, илимпоздор бир теориянын үстүндө иштеп жатып, алардын натыйжаларын иш жүзүндө колдонуу жөнүндө ойлонушпайт. Математика – бул эң оболу акыл оюну, себеп-натыйжа байланыштарын катуу сактоо. Дээрлик бардык математикалык конструкциялар интегралдык жана дифференциалдык теңдемелерди чыгарууга келтирилет, ал эми алар өз кезегинде кандайдыр бир жакындоо менен көп мүчөлөрдүн тамырларын табуу менен чечилет. Бул жерде биз алгач элестүү сандардын парадоксуна туш болобуз.

Натуралист илимпоздору толугу менен практикалык маселелерди чечип, ар кандай теңдемелердин чечимдерине кайрылышып, математикалык парадоксторду ачышат. Бул парадоксторду чечмелөө таптакыр укмуштуудай ачылыштарга алып келет. Электромагниттик толкундардын кош мүнөзү, мисалы, бир мисал. Татаал сандар алардын касиеттерин түшүнүүдө чечүүчү роль ойнойт.

Бул өз кезегинде оптика, радиоэлектроника, энергетика жана башка көптөгөн технологиялык тармактарда практикалык колдонууну тапты. Дагы бир мисал, физикалык кубулуштарды түшүнүү алда канча кыйын. Антиматерия калемдин учунда алдын ала айтылган. Көп жылдан кийин гана аны физикалык синтездөө аракеттери башталат.

Физикада гана мындай жагдайлар болот деп ойлобогула. Мындан кем эмес кызыктуу ачылыштар жапайы жаратылышта, макромолекулалардын синтезинде, жасалма интеллектти изилдөө учурунда жасалат. Жана мунун баары анын аркасындатабигый баалуулуктарды жөнөкөй кошуу жана кемитүүдөн баш тартуу, аң-сезимибиздин кеңейиши.