Иррационал сандар деген эмне? Эмне үчүн алар мындай деп аталат? Алар кайда колдонулат жана алар эмне? Бул суроолорго эч ойлонбостон жооп бере алгандар аз. Бирок чындыгында аларга жооптор абдан жөнөкөй, бирок баарына эле керек эмес жана өтө сейрек учурларда
Маңызы жана белгилениши
Иррационал сандар чексиз мезгилдүү эмес ондук бөлчүктөр. Бул концепцияны киргизүүнүн зарылдыгы мурда болгон реалдуу же реалдуу, бүтүн, натурал жана рационал сандар түшүнүктөрү жаңы пайда болгон маселелерди чечүү үчүн жетишсиз болуп калгандыгына байланыштуу. Мисалы, 2нин квадраты эмне экенин эсептөө үчүн кайталанбаган чексиз ондуктарды колдонуу керек. Мындан тышкары, эң жөнөкөй теңдемелердин көбү иррационалдык сан түшүнүгүн киргизбестен эч кандай чечимге ээ эмес.
Бул топтом I деп белгиленет. Жана буга чейин эле көрүнүп тургандай, бул маанилерди жөнөкөй бөлчөк катары көрсөтүү мүмкүн эмес, анын алымында бүтүн сан, ал эми бөлүүчүдө - натурал сан болот..
Биринчи жолуантпесе, индиялык математиктер бул кубулушка биздин заманга чейинки 7-кылымда, кээ бир чоңдуктардын квадрат тамырларын так көрсөтүү мүмкүн эместиги аныкталганда жолуккан. Ал эми мындай сандардын бар экендигинин биринчи далили Пифагордук Гиппаска таандык, ал муну тең жактуу тик бурчтук үч бурчтугун изилдөө процессинде жасаган. Бул топтомду изилдөөгө биздин эрага чейин жашаган кээ бир башка окумуштуулар олуттуу салым кошушкан. Иррационалдык сандар түшүнүгүн киргизүү учурдагы математикалык системаны кайра карап чыгууну талап кылды, ошондуктан алар абдан маанилүү.
Аттын келип чыгышы
Эгер катыш латын тилинен которгондо "бөлчөк", "катыш" дегенди билдирсе, анда "ir"
префикси бул сөзгө карама-каршы маанини берет. Ошентип, бул сандардын жыйындысынын аталышы аларды бүтүн же бөлчөк сан менен корреляциялоого болбойт, алар өзүнчө орунга ээ экенин көрсөтүп турат. Бул алардын маңызынан келип чыгат.
Жалпы классификациядагы орун
Иррационал сандар рационал сандар менен бирге реалдуу же реалдуу сандардын тобуна кирет, алар өз кезегинде комплекс сандарга кирет. Почталар жок, бирок алгебралык жана трансценденттик түрлөрү бар, алар төмөндө талкууланат.
Касиеттер
Иррационал сандар чыныгы сандар жыйындысынын бир бөлүгү болгондуктан, алардын арифметикада изилденген бардык касиеттери (алар негизги алгебралык мыйзамдар деп да аталат) аларга тиешелүү.
a + b=b + a (коммутативдүүлүк);
(a + b) + c=a + (b + c)(ассоциация);
a + 0=a;
a + (-a)=0 (карама-каршы сандын болушу);
ab=ba (жылуу мыйзамы);
(ab)c=a(bc) (таратуучулук);
a(b+c)=ab + ac (таратуу мыйзамы);
a x 1=a
a x 1/a=1 (тескери сандын болушу);
Салыштыруу ошондой эле жалпы мыйзамдарга жана принциптерге ылайык жүргүзүлөт:
Эгер a > b жана b > c болсо, анда a > c (катыштын өтмө жөндөмдүүлүгү) жана. ж.б.
Албетте, бардык иррационалдык сандарды негизги арифметика аркылуу айландырууга болот. Бул үчүн атайын эрежелер жок.
Мындан тышкары, Архимеддин аксиомасы иррационалдык сандарга тиешелүү. Анда a жана b ар кандай эки чоңдук үчүн а терминин жетиштүү жолу алуу менен, сиз bдан ашып кете аласыз деген сөз чын экени айтылат.
Колдонуу
Кадимки жашоодо алар менен көп күрөшүүгө туура келбегени менен, иррационалдуу сандарды санап чыгуу мүмкүн эмес. Алардын саны көп, бирок алар дээрлик көрүнбөйт. Биз бардык жерде иррационалдуу сандар менен курчалганбыз. Баарына тааныш мисалдар: 3кө барабар болгон pi саны, 1415926 …, же натурал логарифмдин негизи болгон e саны, 2, 718281828 … Алгебра, тригонометрия жана геометрияда аларды дайыма колдонуу керек.. Айтмакчы, "алтын бөлүмдүн" атактуу мааниси, башкача айтканда, чоңу менен кичирээк бөлүгүнүн катышы да, ошондой эле
бул топтомго таандык. Азыраак белгилүү "күмүш" да.
Алар сан сызыгында абдан жыш жайгашкан, андыктан рационалдуу болгондордун жыйындысына тиешелүү эки чоңдуктун ортосунда иррационалдык мааниси сөзсүз болот.
Бул топтомго байланыштуу дагы эле көптөгөн чечилбеген көйгөйлөр бар. Сандын иррационалдык өлчөмү жана нормалдуулугу сыяктуу критерийлер бар. Математиктер алардын тигил же бул топко кирүүсү үчүн эң маанилүү мисалдарды изилдөөнү улантышууда. Мисалы, е нормалдуу сан деп эсептелет, башкача айтканда, анын жазуусунда ар кандай цифралардын пайда болуу ыктымалдыгы бирдей. Пи жөнүндө айтсак, ал боюнча изилдөөлөр дагы эле жүрүп жатат. Иррационалдык өлчөм тигил же бул санды рационалдуу сандар менен канчалык деңгээлде жакындатууга болорун көрсөткөн маани деп да аталат.
Алгебралык жана трансценденталдык
Айтылгандай иррационал сандар шарттуу түрдө алгебралык жана трансценденттик болуп бөлүнөт. Шарттуу түрдө, так айтканда, бул классификация С топтомун бөлүү үчүн колдонулат.
Бул белгилөө реалдуу же реалдуу сандарды камтыган татаал сандарды жашырат.
Демек, алгебралык маани – бул нөлгө бирдей эмес көп мүчөнүн тамыры болгон маани. Мисалы, 2нин квадрат тамыры ушул категорияда болот, анткени ал x2 - 2=0.
теңдемесинин чечими.
Бул шартты канааттандырбаган бардык башка реалдуу сандар трансценденталдуу деп аталат. Бул сорткоэң белгилүү жана буга чейин айтылган мисалдарды камтыйт - pi саны жана натуралдык логарифмдин негизи e.
Кызыгы, бири да, экинчиси да адегенде мындай сапатта математиктер тарабынан чыгарылган эмес, алардын акылга сыйбастыгы жана трансценденттиги алар ачылгандан көп жылдар өткөндөн кийин далилденген. Пи үчүн далил 1882-жылы берилип, 1894-жылы жөнөкөйлөштүрүлгөн, бул тегеректи квадраттоо маселеси боюнча 2500 жылдык талашка чекит койгон. Ал дагы эле толук түшүнүлө элек, ошондуктан азыркы математиктердин үстүндө иштөө үчүн бир нерсе бар. Айтмакчы, бул баалуулуктун биринчи жетишээрлик так эсебин Архимед жүргүзгөн. Ага чейин бардык эсептөөлөр өтө болжолдуу болгон.
Э үчүн (Эйлер же Непье сандары), анын трансценденттүүлүгүнүн далили 1873-жылы табылган. Ал логарифмдик теңдемелерди чыгарууда колдонулат.
Башка мисалдар синус, косинус жана бардык алгебралык нөл эмес маанилер үчүн тангенс маанилерин камтыйт.
