мейкиндикте тегиздикти ар кандай жолдор менен аныктоого болот (бир чекит жана вектор, эки чекит жана вектор, үч чекит ж.б.). Мына ушуну эске алуу менен тегиздиктин теңдемеси ар кандай формага ээ болушу мүмкүн. Ошондой эле, белгилүү бир шарттарда тегиздиктер параллель, перпендикуляр, кесилишкен ж.б. Бул тууралуу биз бул макалада сүйлөшөбүз. Биз учактын жалпы теңдемесин жазганды үйрөнөбүз, ал гана эмес.
Нормалдуу теңдеме
Тик бурчтуу XYZ координаттар системасы бар R3 мейкиндиги бар дейли. Баштапкы О чекитинен чыга турган α векторун коелу. α векторунун аягы аркылуу ага перпендикуляр болгон П тегиздигин тартабыз.
П менен белгилейли, Q=(x, y, z). Q чекитинин радиус векторуна р тамгасы менен кол коёбуз. Бул учурда α векторунун узундугу p=IαI жана Ʋ=(cosα, cosβ, cosγ).
Бул капталга караган бирдик векторувектор α. α, β жана γ - Ʋ векторунун жана тиешелүүлүгүнө жараша x, y, z мейкиндик окторунун оң багыттарынын ортосунда пайда болгон бурчтар. Кээ бир QϵП чекитинин Ʋ векторуна проекциясы р ге барабар туруктуу чоңдук: (р, Ʋ)=р(р≧0).
Жогорудагы теңдеме p=0 болгондо мааниси бар. Бир гана нерсе, бул учурда P тегиздиги башы болгон О (α=0) чекити менен кесилишет жана О чекитинен бошотулган Ʋ бирдик вектору анын багытына карабастан, P ге перпендикуляр болот. бул Ʋ вектору белгиден так аныкталганын билдирет. Мурунку теңдеме вектордук формада туюнтулган биздин P тегиздигибиздин теңдемеси. Бирок координаттарда мындай болот:
Р бул жерде 0дөн чоң же барабар. Биз мейкиндиктеги тегиздиктин теңдемесин нормалдуу түрдө таптык.
Жалпы теңдеме
Эгер координаттардагы теңдемени нөлгө барабар эмес каалаган санга көбөйтсө, ошол эле тегиздикти аныктаган берилгенге эквиваленттүү теңдемени алабыз. Ал мындай болот:
Бул жерде A, B, C бир эле учурда нөлдөн айырмаланган сандар. Бул теңдеме жалпы тегиздик теңдеме деп аталат.
Тегиздиктердин теңдемелери. Өзгөчө учурлар
Жалпы формадагы теңдеме кошумча шарттар болгондо өзгөртүлүшү мүмкүн. Келгиле, алардын айрымдарын карап чыгалы.
А коэффициенти 0 ге барабар деп эсептейли. Бул берилген тегиздик берилген Ox огуна параллель экенин билдирет. Бул учурда теңдеменин формасы өзгөрөт: Ву+Cz+D=0.
Ошондой эле, теңдеменин формасы төмөнкү шарттарда өзгөрөт:
- Биринчиден, эгерде B=0 болсо, анда теңдеме Ax+Cz+D=0 болуп өзгөрөт, бул Ой огуна параллелдүүлүктү көрсөтөт.
- Экинчиден, эгерде С=0 болсо, анда теңдеме Ах+Ву+D=0 болуп өзгөрөт, бул Oz огуна параллелдүүлүктү көрсөтөт.
- Үчүнчүдөн, эгерде D=0 болсо, теңдеме Ax+By+Cz=0 сыяктуу көрүнөт, бул тегиздик О (башкы) кесилишин билдирет.
- Төртүнчүдөн, эгерде A=B=0 болсо, анда теңдеме Cz+D=0 болуп өзгөрөт, ал Оксиге параллелдүү болот.
- Бешинчиден, эгерде B=C=0, анда теңдеме Ax+D=0 болуп калат, бул Ойзго бара турган учак параллелдүү экенин билдирет.
- Алтынчы, эгерде A=C=0 болсо, анда теңдеме Ву+D=0 формасын алат, башкача айтканда, параллелдүүлүктү Oxzге билдирет.
Теңдеменин сегменттердеги көрүнүшү
А, В, С, D сандары нөл эмес болгон учурда (0) теңдеменин түрү төмөнкүдөй болушу мүмкүн:
x/a + y/b + z/c=1, мында a=-D/A, b=-D/B, c=-D/C.
Натыйжада сегменттердеги тегиздиктин теңдемесин алабыз. Белгилей кетсек, бул тегиздик Ox огунун координаттары (a, 0, 0), Oy - (0, b, 0) жана Oz - (0, 0, c) болгон чекитте кесилишет.
x/a + y/b + z/c=1 теңдемесин эске алуу менен, берилген координаттар системасына салыштырмалуу тегиздиктин жайгашуусун элестетүү оңой.
Нормалдуу вектордун координаттары
Р тегиздигине n нормалдуу векторунун координаттары бар, алар бул тегиздиктин жалпы теңдемесинин коэффициенттери болуп саналат, б.а.(A, B, C).
Нормалдуу n координаталарын аныктоо үчүн берилген тегиздиктин жалпы теңдемесин билүү жетиштүү.
x/a + y/b + z/c=1 түрүнө ээ болгон сегменттерде теңдемени колдонууда, ошондой эле жалпы теңдемени колдонууда aнын каалаган нормалдуу векторунун координаталарын жазууга болот берилген тегиздик: (1/a + 1 /b + 1/c).
Белгилей кетсек, нормалдуу вектор ар кандай маселелерди чечүүгө жардам берет. Көбүнчө тегиздиктердин перпендикулярдыгын же параллелдүүлүгүн далилдөөдөн турган маселелер, тегиздиктердин ортосундагы бурчтарды же тегиздиктер менен сызыктардын ортосундагы бурчтарды табуудагы маселелер.
Тегиздик теңдеменин чекиттин координаттарына жана нормалдуу векторуна ылайык көрүнүшү
Белгилүү тегиздикке перпендикуляр болгон нөл эмес вектор n берилген тегиздик үчүн нормалдуу (нормалдуу) деп аталат.
Координата мейкиндигинде (тик бурчтуу координаттар системасы) Oxyz берилген деп ойлойлу:
- координаттары менен Mₒ чекити (xₒ, yₒ, zₒ);
- нөл вектор n=Ai+Bj+Ck.
Кадимки n чекитине перпендикуляр Mₒ чекитинен өтө турган тегиздикке теңдеме түзүшүңүз керек.
Космосто биз каалаган ыктыярдуу чекитти тандап, аны M (x y, z) менен белгилейбиз. Кандайдыр бир M (x, y, z) чекиттин радиус вектору r=xi+yj+zk, ал эми Mₒ (xₒ, yₒ, zₒ) чекитинин радиус вектору rₒ=xₒ болсун. i+yₒ j+zₒk. Эгерде MₒM вектору n векторуна перпендикуляр болсо, M чекити берилген тегиздикке таандык болот. Ортогоналдык шартты скалярдык көбөйтүндү колдонуп жазабыз:
[MₒM, n]=0.
MₒM=r–rₒ болгондуктан, тегиздиктин вектордук теңдемеси төмөнкүдөй болот:
[r – rₒ, n]=0.
Бул теңдеме башка формада болушу мүмкүн. Бул үчүн скалярдык көбөйтүндүн касиеттери колдонулат, ал эми теңдеменин сол тарабы трансформацияланат. [r - rₒ, n]=[r, n] - [rₒ, n]. Эгерде [rₒ, n] с деп белгиленсе, анда төмөнкү теңдеме алынат: [r, n] - c \u003d 0 же [r, n] u003d c, ал проекциялардын нормалдуу векторуна туруктуулугун туюндурат. тегиздикке тиешелүү берилген чекиттердин радиус векторлору.
Эми тегиздигибиздин вектордук теңдемесинин координаталык формасын алабыз [r – rₒ, n]=0. Анткени r–rₒ=(x–xₒ)i + (y–yₒ)j + (z–zₒ)k, жана n=Ai+Bj+Ck, бизде:
Бизде нормалдуу nга перпендикуляр чекит аркылуу өткөн тегиздиктин теңдемеси бар экен:
A(x- xₒ)+B(y-yₒ)C(z-zₒ)=0.
Эки чекиттин координаталарына жана тегиздикке коллинеар векторго ылайык тегиздик теңдеменин көрүнүшү
Келгиле, эки ыктыярдуу чекиттерди M' (x', y', z') жана M″ (x″, y″, z″), ошондой эле а векторун (a', a″, a) коёлу ‴).
Эми биз колдо болгон M' жана M″ чекиттери, ошондой эле берилген а векторуна параллелдүү координаттары (x, y, z) болгон каалаган М чекити аркылуу өтө турган берилген тегиздик үчүн теңдеме түзө алабыз.
Векторлору M'M={x-x';y-y';z-z'} жана M″M={x″-x';y″-y';z″-z ' } а=(a', a″, a‴) вектору менен окшош болушу керек, бул (M'M, M″M, a)=0 дегенди билдирет.
Демек, мейкиндиктеги тегиздиктин теңдемеси мындай болот:
Үч чекитти кескен тегиздиктин теңдемесинин көрүнүшү
Бизде үч чекит бар дейли: (x', y', z'), (x″, y″, z″), (x‴, y‴, z‴), алар бирдей түз. Берилген үч чекиттен өткөн тегиздиктин теңдемесин жазуу керек. Геометрия теориясы мындай тегиздик чындыгында бар деп ырастайт, ал жалгыз жана кайталангыс. Бул тегиздик чекитти (x', y', z') кескендиктен, анын теңдемесинин формасы төмөнкүчө болот:
Бул жерде A, B, C бир эле учурда нөлдөн айырмаланат. Ошондой эле, берилген тегиздик дагы эки чекит менен кесилишет: (x″, y″, z″) жана (x‴, y‴, z‴). Буга байланыштуу төмөнкү шарттар аткарылышы керек:
Эми биз u, v, w белгисиздери бар бир тектүү теңдеме системасын (сызыктуу) түзө алабыз:
Биздин учурда, x, y же z (1) теңдемени канааттандырган эркин чекит. (1) теңдемени жана (2) жана (3) теңдемелер системасын эске алганда, жогорудагы сүрөттө көрсөтүлгөн теңдемелер системасы тривиалдуу эмес N (A, B, C) векторун канааттандырат. Ошондуктан бул системанын детерминанты нөлгө барабар.
Биз алган теңдеме (1), бул учактын теңдемеси. Ал так 3 чекиттен өтөт жана муну текшерүү оңой. Бул үчүн сизге керекбиздин аныктоочубузду биринчи катардагы элементтердин үстүнөн кеңейтиңиз. Детерминанттын болгон касиеттеринен келип чыгат, биздин тегиздик бир эле учурда алгач берилген үч чекитти (x', y', z'), (x″, y″, z″), (x‴, y‴, z‴) кесип өтөт.. Башкача айтканда, биз алдыбызга коюлган милдетти чечтик.
Тегиздиктердин ортосундагы эки бурчтуу бурч
Эки бурчтуу бурч – бир түз сызыктан чыккан эки жарым тегиздиктен түзүлгөн мейкиндик геометриялык фигура. Башкача айтканда, бул жарым тегиздиктер менен чектелген мейкиндиктин бөлүгү.
Төмөнкү теңдемелери бар эки учак бар дейли:
Биз N=(A, B, C) жана N¹=(A¹, B¹, C¹) векторлору берилген тегиздиктерге ылайык перпендикуляр экенин билебиз. Ушуга байланыштуу, N жана N¹ векторлорунун ортосундагы φ бурч бул тегиздиктердин ортосундагы бурчка (диэдрлик) барабар. Скалярдык продукт төмөнкүдөй формада:
NN¹=|N||N¹|cos φ, анткени
cosφ=NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/(√(A²+B²+C²))(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²))
Бул 0≦φ≦π экенин эске алуу жетиштүү.
Чынында, кесилишкен эки тегиздик эки (эки бурчтуу) бурчтарды түзөт: φ1 жана φ2. Алардын суммасы πге барабар (φ1+ φ2=π). Алардын косинустарына келсек, алардын абсолюттук маанилери бирдей, бирок алар белгилери боюнча айырмаланат, башкача айтканда, cosφ1=-cos φ2. Эгерде (0) теңдемеде A, B жана C сандарын тиешелүүлүгүнө жараша -A, -B жана -C сандары менен алмаштырсак, анда биз алган теңдеме ошол эле тегиздикти, теңдемедеги жалгыз φ бурчун cos φ=NN аныктайт.1/|N||N1| π-φ менен алмаштырылат.
Перпендикуляр тегиздиктин теңдемеси
Перпендикуляр тегиздик деп аталат, алардын ортосундагы бурчу 90 градус. Жогоруда көрсөтүлгөн материалды колдонуп, биз башкасына перпендикуляр болгон тегиздиктин теңдемесин таба алабыз. Бизде эки учак бар дейли: Ax+By+Cz+D=0 жана A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Эгерде cosφ=0 болсо, алар перпендикуляр болот деп айта алабыз. Бул NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0 дегенди билдирет.
Параллель тегиздиктин теңдемеси
Параллель - жалпы чекиттерди камтыбаган эки тегиздик.
Тегиздиктердин параллелдүүлүк шарты (алардын теңдемелери мурунку абзацтагыдай) аларга перпендикуляр болгон N жана N¹ векторлорунун коллинеар болушунда. Бул төмөнкү пропорционалдык шарттар аткарылганын билдирет:
A/A¹=B/B¹=C/C¹.
Эгер пропорционалдуулук шарттары узартылса - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹, бул учактар бирдей экенин көрсөтүп турат. Бул Ax+By+Cz+D=0 жана A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 теңдемелери бир тегиздикти сүрөттөй турганын билдирет.
Точкадан учакка чейинки аралык
Бизде P тегиздиги бар дейли, ал (0) теңдеме менен берилген. Биз чекиттен ага чейинки аралыкты табышыбыз кереккоординаттары менен (xₒ, yₒ, zₒ)=Qₒ. Бул үчүн, P тегиздигинин теңдемесин кадимки формага келтириш керек:
(ρ, v)=p (p≧0).
Мында, ρ (x, y, z) - биздин Q чекитибиздин P радиусунун вектору, p - нөлдүк чекиттен чыгарылган перпендикуляр P узундугу, v - а.
карай жайгашкан бирдик вектор
Рга тиешелүү кандайдыр бир Q=(x, y, z) чекитинин радиус векторунун ρ-ρº айырмасы, ошондой эле берилген чекиттин радиус вектору Q0=(xₒ, yₒ, zₒ) ушундай вектор, анын v боюнча проекциясынын абсолюттук мааниси d алыстыгына барабар, аны Q0=(ден табуу керек xₒ, yₒ, zₒ) чейин P:
D=|(ρ-ρ0, v)|, бирок
(ρ-ρ0, v)=(ρ, v)–(ρ0, v)=р–(ρ0, v).
Андыктан, d=|(ρ0, v)-p|.
Эми Q0 дан P тегиздигине чейинки d аралыкты эсептөө үчүн тегиздиктин теңдемесинин нормалдуу формасын колдонуу керек экени түшүнүктүү, ал эми p сол тарапка жылдырып, x, y, z ордуна акыркыга жылдыруу (xₒ, yₒ, zₒ).
Ошентип, биз алынган туюнтумдун абсолюттук маанисин табабыз, башкача айтканда, каалаган d.
Параметр тилин колдонуу менен биз айкын нерсени алабыз:
d=|Axₒ+Byₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²).
Эгер берилген Q0 чекити P тегиздигинин аркы тарабында, ошондой эле координацияда болсо, анда ρ-ρ0 векторунун ортосунда жана v - сүйрү бурч, демек:
d=-(ρ-ρ0, v)=(ρ0, v)-p>0.
Эгерде Q0 чекити координатор менен бирге Pтин бир тарабында жайгашкан болсо, анда түзүлгөн бурч курч болот, башкача айтканда:
d=(ρ-ρ0, v)=р - (ρ0, v)>0.
Натыйжада, биринчи учурда (ρ0, v)>r, экинчи учурда (ρ0, v)<r.
Тангенс тегиздиги жана анын теңдемеси
Мº тангенс чекитиндеги бетке тийген тегиздик - бул беттеги бул чекит аркылуу тартылган ийри сызыктарга мүмкүн болгон бардык тангенстерди камтыган тегиздик.
F(x, y, z)=0 беттик теңдемесинин бул формасы менен Mº(xº, yº, zº) тангенс чекитиндеги тангенс тегиздигинин теңдемеси төмөнкүдөй болот:
Fx(xº, yº, zº)(x- xº)+ Fx(xº, yº, zº)(y- yº) + Fх(хº, yº, zº)(z-zº)=0.
Эгер бетти ачык z=f (x, y) көрсөтсөңүз, анда тангенс тегиздик төмөнкү теңдеме менен сүрөттөлөт:
z-zº=f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y- yº).
Эки учактын кесилиши
Үч өлчөмдүү мейкиндикте координаттар системасы (тик бурчтуу) Oxyz жайгашкан, эки P' жана P″ тегиздиги берилген, алар кесилишкен жана дал келбейт. Тик бурчтуу координаттар системасында жайгашкан бардык тегиздик жалпы теңдеме менен аныкталгандыктан, биз P' жана P″ A'x+B'y+C'z+D'=0 жана A″x теңдемелери менен берилген деп ойлойбуз. +B″y+ С″z+D″=0. Бул учурда бизде P' тегиздигинин нормалдуу n '(A', B', C') жана P ″ тегиздигинин нормалдуу n ″ (A ″, B ″, C ″) бар. Биздин учактар параллелдүү эмес жана дал келбегендиктен, буларвекторлор коллинеар эмес. Математика тилин колдонуп, бул шартты төмөнкүчө жазсак болот: n'≠ n″ ↔ (A', B', C') ≠ (λA″, λB″, λC″), λϵR. P' жана P″ кесилишинде жаткан сызык а тамгасы менен белгиленсин, бул учурда a=P' ∩ P″.
a – П' жана П″ тегиздиктеринин (жалпы) бардык чекиттеринин жыйындысынан турган түз сызык. Бул a сызыгына тиешелүү каалаган чекиттин координаттары бир эле учурда A'x+B'y+C'z+D'=0 жана A″x+B″y+C″z+D″=теңдемелерин канааттандырышы керек дегенди билдирет. 0. Бул чекиттин координаттары төмөнкү теңдемелер системасынын белгилүү бир чечими болот дегенди билдирет:
Натыйжада, бул теңдемелердин системасынын (жалпы) чечими түз сызыктын ар бир чекитинин координаталарын аныктай тургандыгы, ал P' жана P″ кесилишкен чекитинин милдетин аткара тургандыгы белгилүү болду., жана мейкиндикте Oxyz (тик бурчтуу) координаттар системасындагы түз сызыгын аныктаңыз.
