Үч бурчтуу пирамида жана анын аянтын аныктоо формулалары

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Акыркы өзгөртүү: 2023-12-17 05:34

Пирамида – геометриялык мейкиндик фигура, анын мүнөздөмөлөрү орто мектепте катуу геометрия курсунда изилденет. Бул макалада биз үч бурчтуу пирамиданы, анын түрлөрүн, ошондой эле анын бетинин аянтын эсептөө формулаларын карап чыгабыз.

Кайсы пирамида жөнүндө сөз болуп жатат?

Үч бурчтук пирамида – бул үч бурчтуктун тегиздигинде жатпаган бир чекит менен эркин үч бурчтуктун бардык чокуларын туташтыруу аркылуу алынуучу фигура. Бул аныктамага ылайык, каралып жаткан пирамида фигуранын негизи деп аталган баштапкы үч бурчтуктан жана негизи менен бир жалпы капталына ээ болгон жана бири-бирине чекитте туташтырылган үч каптал үч бурчтуктан турушу керек. Акыркысы пирамиданын чокусу деп аталат.

Жогорку сүрөттө ыктыярдуу үч бурчтуу пирамида көрсөтүлгөн.

Каралып жаткан фигура кыйгач же түз болушу мүмкүн. Акыркы учурда, пирамиданын чокусунан анын түбүнө түшүрүлгөн перпендикуляр аны геометриялык борбордо кесип өтүшү керек. каалаган геометриялык борборуүч бурчтук анын медианаларынын кесилишкен чекити болуп саналат. Геометриялык борбор физикадагы фигуранын массасынын борборуна дал келет.

Эгер туура пирамиданын түбүндө туура (тең жактуу) үч бурчтук жатса, анда ал туура үч бурчтук деп аталат. Кадимки пирамидада бардык тараптар бири-бирине барабар жана бирдей жактуу үч бурчтуктар.

Эгер нормалдуу пирамиданын бийиктиги анын каптал үч бурчтуктары барабар боло тургандай болсо, анда ал тетраэдр деп аталат. Тетраэдрде төрт жүз тең бири-бирине барабар болгондуктан, алардын ар бирин негиз катары кароого болот.

Пирамида элементтери

Бул элементтерге фигуранын беттери же капталдары, анын четтери, чокулары, бийиктиги жана апотемдер кирет.

Көрсөтүлгөндөй, үч бурчтуу пирамиданын бардык тараптары үч бурчтуктар. Алардын саны 4 (3 каптал жана бир түбүндө).

Чокулар үч бурчтуктун үч тарабынын кесилишкен чекиттери. Каралып жаткан пирамида үчүн алардын 4ү бар экенин божомолдоо кыйын эмес (3 пирамиданын негизине жана 1 чокусуна таандык).

Четтерди эки үч бурчтук тарапты кескен сызыктар же ар бир эки чокусун бириктирген сызыктар катары аныктоого болот. Четтердин саны негизги чокуларынын эки эселенген санына туура келет, башкача айтканда, үч бурчтуу пирамида үчүн 6 (3 чети негизге таандык жана 3 чети каптал беттери түзөт).

Бийиктик, жогоруда белгиленгендей, пирамиданын чокусунан анын түбүнө чейин тартылган перпендикулярдын узундугу. Бул чокудан үч бурчтуу негиздин ар бир тарабына бийиктиктерди тартсак,анда алар апотем (же апотемдер) деп аталат. Ошентип, үч бурчтуу пирамиданын бир бийиктиги жана үч апотемасы бар. Кадимки пирамида үчүн акыркылары бири-бирине барабар.

Пирамиданын негизи жана анын аянты

Каралып жаткан фигуранын негизи негизинен үч бурчтук болгондуктан, анын аянтын эсептөө үчүн анын бийиктигин h_o жана негиздин капталынын узундугун табуу жетиштүү. а, анын үстүнө түшүрүлгөн. Негиздин S_o аянтынын формуласы:

S_o=1/2h_oa

Эгер пайдубалдын үч бурчтугу тең жактуу болсо, анда үч бурчтуу пирамиданын негизинин аянты төмөнкү формула боюнча эсептелет:

S_o=√3/4a²

Башкача айтканда, S_o аянты үч бурчтуу негиздин а капталынын узундугу менен өзгөчө аныкталат.

Фигуранын каптал жана жалпы аянты

Үч бурчтуу пирамиданын аянтын кароодон мурун анын өнүгүшүн көрсөтүү пайдалуу. Ал төмөндөгү сүрөттө.

Төрт үч бурчтуктан түзүлгөн бул шыпыруунун аянты пирамиданын жалпы аянты. Үч бурчтуктардын бири негизге туура келет, анын формуласы жогоруда жазылган. Үч каптал үч бурчтуу беттер чогуу фигуранын каптал аймагын түзөт. Демек, бул маанини аныктоо үчүн алардын ар бирине ыктыярдуу үч бурчтук үчүн жогорудагы формуланы колдонуп, андан кийин үч натыйжаны кошуу жетиштүү.

Эгер пирамида туура болсо, анда эсептөөкаптал бетинин аянты жеңилдетилген, анткени бардык каптал беттери бирдей тең жактуу үч бурчтуктар. h_bапотеманын узундугун белгилеңиз, андан кийин S_b каптал бетинин аянтын төмөнкүчө аныктоого болот:

S_b=3/2ah_b

Бул формула үч бурчтуктун аянтынын жалпы туюнтмасынан келип чыгат. Пирамиданын үч каптал бети бар экенине байланыштуу 3 саны сандарда пайда болду.

Апотема h_b нормалдуу пирамидадагы h фигуранын бийиктиги белгилүү болсо эсептелсе болот. Пифагор теоремасын колдонуу менен биз:

алабыз

h_b=√(h²+ a²/12)

Албетте, фигуранын бетинин S жалпы аянты анын капталынын жана негизинин аянттарынын суммасына барабар:

S=S_o+ S_b

Кадимки пирамида үчүн, бардык белгилүү маанилерди алмаштырып, формуланы алабыз:

S=√3/4a²+ 3/2a√(h²+ a ²/12)

Үч бурчтуу пирамиданын аянты анын негизинин капталынын узундугуна жана бийиктигине гана көз каранды.

Мисал көйгөй

Үч бурчтуу пирамиданын каптал кыры 7 см, ал эми негизинин каптал жагы 5 см экени белгилүү. Эгер пирамида экенин билсеңиз, фигуранын бетинин аянтын табышыңыз керек. кадимки.

Жалпы бирдейликти колдонуңуз:

S=S_o+ S_b

S_oга барабар:

S_o=√3/4a² =√3/45^{2 ≈10, 825см}2.

Каптал бетинин аянтын аныктоо үчүн апотеманы табыш керек. Каптал четинин узундугу аркылуу a_b формула менен аныктала тургандыгын көрсөтүү кыйын эмес:

h_b=√(a_b²- a^{2 /4)=√(7} 2^{- 5}2^{/4) ≈ 6,538 см.}

Анда S_b аянты:

S_b=3/2ah_b=3/256, 538=49,035 cm2.

Пирамиданын жалпы аянты:

S=S_o+ S_b=10.825 + 49.035=59.86cm².

Маселени чечүүдө биз эсептөөдө пирамиданын бийиктигинин маанисин колдонгон жокпуз.