Алты бурчтуу призма жана анын негизги мүнөздөмөлөрү

2024 Автор: Angel Austin | [email protected]. Акыркы өзгөртүү: 2024-01-02 17:51

Мейкиндик геометриясы призмаларды изилдөө. Алардын маанилүү мүнөздөмөлөрү - аларда камтылган көлөмү, бетинин аянты жана курамдык элементтердин саны. Макалада алты бурчтуу призма үчүн бул касиеттердин баарын карап чыгабыз.

Кайсы призма жөнүндө сөз болуп жатат?

Алты бурчтуу призма – алты капталы жана алты бурчтуу эки көп бурчтуктан жана белгиленген алты бурчтуктарды бирдиктүү геометриялык түзүлүшкө бириктирген алты параллелограммдан түзүлгөн фигура.

Сүрөттө бул призманын мисалы көрсөтүлгөн.

Кызыл менен белгиленген алты бурчтук фигуранын негизи деп аталат. Албетте, анын негиздеринин саны экиге барабар жана экөө тең бирдей. Призманын сары-жашыл беттери анын капталдары деп аталат. Сүрөттө алар квадраттар менен берилген, бирок жалпысынан параллелограммдар.

Алты бурчтуу призма жантык жана түз болушу мүмкүн. Биринчи учурда, негиз менен капталдардын ортосундагы бурчтар түз эмес, экинчисинде 90o барабар. Ошондой эле, бул призма туура жана туура эмес болушу мүмкүн. Кадимки алты бурчтуупризма түз болушу керек жана негизинде регулярдуу алты бурчтук болушу керек. Сүрөттөгү жогорудагы призма бул талаптарды канааттандырат, ошондуктан ал туура деп аталат. Андан ары макалада биз жалпы жагдай катары анын касиеттерин гана изилдейбиз.

Элементтер

Ар кандай призма үчүн анын негизги элементтери - четтери, беттери жана чокулары. Алты бурчтуу призма да четте калбайт. Жогорудагы көрсөткүч бул элементтердин санын эсептөөгө мүмкүндүк берет. Ошентип, биз 8 бетти же капталдарды алабыз (эки негиз жана алты каптал параллелограмм), чокуларынын саны 12 (ар бир негиз үчүн 6 чоку), алты бурчтуу призманын четтеринин саны 18 (алты каптал жана 12 негиздери).

1750-жылдары Леонхард Эйлер (швейцариялык математик) призманы камтыган бардык көп кырдуулар үчүн көрсөтүлгөн элементтердин сандарынын ортосундагы математикалык байланышты түзгөн. Бул мамиле мындай көрүнөт:

четтердин саны=беттердин саны + чокулардын саны - 2.

Жогорудагы цифралар бул формулага жооп берет.

Призма диагоналдары

Алты бурчтуу призманын бардык диагоналдарын эки түргө бөлүүгө болот:

• беттеринин тегиздигинде жаткандар;
• фигуранын бүткүл көлөмүнө тиешелүү болгондор.

Төмөнкү сүрөттө бул диагональдардын баары көрсөтүлгөн.

Д₁ каптал диагоналы, D₂ жана D₃ экенин көрүүгө болот диагоналдар бүт призма, D₄ жана D_{5 - негиздин диагоналдары.}

Караптардын диагоналдарынын узундугу бири-бирине барабар. Белгилүү Пифагор теоремасын колдонуу менен аларды эсептөө оңой. Алты бурчтуктун капталынын узундугу a, каптал четинин узундугу b болсун. Анда диагонал узундугуна ээ болот:

D₁=√(a² + b^2).

Диагоналдык D₄ да аныктоо оңой. Эгерде кадимки алты бурчтук радиусу a болгон тегерекке туура келерин эстесек, анда D_{4 бул тегеректин диаметри, башкача айтканда, төмөнкү формуланы алабыз:}

D_4=2a.

Диагоналдык D₅базаларды табуу бир аз кыйыныраак. Бул үчүн ABC тең жактуу үч бурчтугун карап көрөлү (сүрөттү карагыла). Ал үчүн AB=BC=a, ABC бурчу 120^{o. Бул бурчтан бийиктикти түшүрсөк (ал биссектриса жана медиана да болот), анда AC негизинин жарымы төмөнкүгө барабар болот:}

AC/2=ABsin(60o)=a√3/2.

AC тарап D_{5 диагоналы, ошондуктан биз: алабыз}

D_5=AC=√3a.

Эми нормалдуу алты бурчтуу призманын D₂ жана D_{3 диагоналдарын табуу калды. Бул үчүн, алар тиешелүү тик бурчтуктардын гипотенузалары экенин көрүшүңүз керек. Пифагор теоремасын колдонуу менен биз:алабыз}

D₂=√(D₄²+ b^2)=√(4a2^{+ b}2^);

D₃=√(D₅²+ b^2)=√(3a2^{+ b}2^).

Ошентип, a жана b бардык маанилери үчүн эң чоң диагонал болуп саналатD_2.

Беттин аянты

Эмне коркунучта экенин түшүнүү үчүн эң оңой жолу бул призманын өнүгүшүн карап чыгуу. Ал сүрөттө көрсөтүлгөн.

Каралып жаткан фигуранын бардык тараптарынын аянтын аныктоо үчүн төрт бурчтуктун аянтын жана алты бурчтуктун аянтын өзүнчө эсептеп, андан кийин аларды көбөйтүү керек экенин көрүүгө болот. призмадагы ар бир n-гондун санына барабар тиешелүү бүтүн сандар менен жыйынтыктарды кошуңуз. Алты бурчтуктар 2, тик бурчтуктар 6.

Төрт бурчтуктун аянты үчүн: алабыз

S_1=ab.

Анда каптал бетинин аянты:

S_2=6ab.

Алты бурчтуктун аянтын аныктоонун эң оңой жолу - бул ылайыктуу формуланы колдонуу:

S=n/4a2ctg(pi/n).

Бул туюнтмага 6га барабар n санын алмаштырсак, бир алты бурчтуктун аянтын алабыз:

S₆=6/4a²ctg(pi/6)=3√3/2a 2^.

Призманын негиздеринин аянтын алуу үчүн бул туюнтманы экиге көбөйтүү керек:

S_os=3√3a^2.

Сигуранын жалпы аянтын алуу үчүн S_os жана S_{2 кошуу керек:}

S=S_os+ S₂=3√3a^{2+ 6ab=3a(√3a + 2b).}

Призма көлөмү

Формуладан кийиналты бурчтуу базанын аянты, каралып жаткан призманын көлөмүн эсептөө алмурутту аткылоо сыяктуу оңой. Бул үчүн, сиз жөн гана бир негиздин аянтын (алты бурчтук) фигуранын бийиктигине көбөйтүү керек, анын узундугу каптал четинин узундугуна барабар. Биз формуланы алабыз:

V=S₆b=3√3/2a^2b.

Негиздин жана бийиктиктин көбөйтүндүсү каалаган призманын, анын ичинде кыйгач призманын көлөмүнүн маанисин берерин эске алыңыз. Бирок, акыркы учурда, бийиктикти эсептөө татаал, анткени ал мындан ары каптал кабыргасынын узундугуна барабар болбойт. Кадимки алты бурчтуу призмага келсек, анын көлөмүнүн мааниси эки өзгөрмөлүү функция: a жана b тараптары.