Математикада "топтом" түшүнүгү, ошондой эле ушул эле көптүктөрдү бири-бири менен салыштыруу мисалдары бар. Көптүктү салыштыруунун түрлөрүнүн аталыштары төмөнкү сөздөр: бижекция, инъекция, сурьекция. Алардын ар бири төмөндө кененирээк сүрөттөлөт.
Бийек деген… бул эмне?
Биринчи топтомдун элементтеринин бир тобу бул формада экинчи топтомдун элементтеринин экинчи тобу менен дал келет: биринчи топтун ар бир элементи экинчи топтун башка бир элементи менен түздөн-түз дал келет жана ал жерде кандайдыр бир же эки топтом тобунун элементтеринин жетишсиздиги же саналышы менен байланышкан жагдай жок.
Негизги касиеттердин формуласы:
- Бир элементтен бирге.
- Далыштырганда эч кандай кошумча элементтер жок жана биринчи касиет сакталат.
- Жалпы көрүнүштү сактап туруп, картаны артка бурууга болот.
- Бийекция – инъекциялык да, кошумча дагы функция.
Илимий көз караштан бижекция
Биективдик функциялар "функциялардын жыйындысы жана жыйындысы" категориясындагы так изоморфизмдер. Бирок, бижекциялар дайыма эле татаал категориялар үчүн изоморфизм боло бербейт. Мисалы, топтордун белгилүү бир категориясында морфизмдер гомоморфизм болушу керек, анткени алар топтун түзүлүшүн сактап калууга тийиш. Демек, изоморфизмдер топтук изоморфизмдер, алар биьективдүү гомоморфизмдер.
"Бирден-бир кат алышуу" түшүнүгү жарым-жартылай функцияларга жалпыланган, мында алар жарым-жартылай бижекциялар деп аталат, бирок жарым-жартылай бижекция инъекция болушу керек. Бул эс алуунун себеби жарым-жартылай (туура) функция анын доменинин бир бөлүгү үчүн мындан ары аныкталган эмес. Ошентип, анын тескери функциясын толук, б.а., анын доменинин бардык жеринде аныкталган менен чектөөгө эч кандай жакшы себеп жок. Берилген базалык топтомго бардык жарым-жартылай бижекциялардын жыйындысы симметриялык тескери жарым топ деп аталат.
Ошол эле түшүнүктү аныктоонун дагы бир жолу: көптүктү Адан Вге чейин жарым-жартылай бижекциялоо R – бижекция графи f:A'→B деген касиетке ээ болгон ар кандай R байланышы (жарым-жартылай функция) деп айтууга болот. ' мында A' - Aнын жана В' - В жыйындысы.
Жарым-жартылай бижекция бир топтомдо болгондо, ал кээде бирден-бир жарым-жартылай трансформация деп аталат. Мисал катары комплекстүү тегиздикте гана аныкталган Möbius трансформациясы, анын кеңейтилген комплекстүү тегиздикте бүтүшү эмес.
Инъекция
Биринчи топтомдун элементтеринин бир тобу бул формада экинчи топтомдун элементтеринин экинчи тобу менен дал келет: биринчи топтун ар бир элементи экинчинин башка бир элементи менен дал келет, бирок баары эмес алар жуптарга айландырылат. Жупташтырылбаган элементтердин саны ар бир топтомдогу дал ушул элементтердин санындагы айырмага жараша болот: эгерде бир топтом отуз бир элементтен турса, экинчисинде дагы жети элемент болсо, анда жупташтырылбаган элементтердин саны жети болот. Комплектке багытталган инъекция. Бижекция жана инъекция окшош, бирок окшоштуктан башка эч нерсе жок.
Сурекция
Биринчи топтомдун элементтеринин бир тобу экинчи топтомдун элементтеринин экинчи тобу менен ушундайча дал келет: элементтердин санынын ортосунда айырмачылык болсо да, каалаган топтун ар бир элементи жупту түзөт. Демек, бир топтун бир элементи башка топтун бир нече элементтери менен жупташа алат.
Эки эмес, инъекциялык да, суръективдик да эмес
Бул bijective жана surjective форманын функциясы, бирок калганы менен (жупташтырылбаган)=> инъекция. Мындай функцияда бижекция менен сурьекциянын ортосунда ачык байланыш бар, анткени ал бул эки типтеги салыштырууларды түз камтыйт. Демек, бул функциялардын бардык түрлөрүнүн жыйындысы өзүнчө алардын бири эмес.
Функциялардын бардык түрлөрүнүн түшүндүрмөсү
Мисалы, байкоочуну төмөндөгүлөр кызыктырат. Жаа атуу боюнча мелдештер бар. Ар бирикатышуучулар бутага тийүүнү каалайт (милдетин жеңилдетүү үчүн: жебе так кайда тийгени эске алынбайт). Болгону үч катышуучу жана үч максаттуу - бул турнирдин биринчи сайты (сайты). Кийинки бөлүмдөрдө жаачылардын саны сакталып калган, бирок буталардын саны өзгөртүлгөн: экинчисинде – төрт бутага, кийинкисинде – дагы төртөө, төртүнчүсүндө – беш. Ар бир катышуучу ар бир бутага атат.
- Турнирдин биринчи жери. Биринчи жаачы бир гана бутага тийет. Экинчиси бир гана бутага тийет. Үчүнчүсү башкалардын артынан кайталанат жана бардык жаачылар ар кандай буталарды: аларга карама-каршы келгендерди сүзүшөт. Жыйынтыгында 1 (биринчи жаачы) бутага (а), 2 - (б), 3 - (в) тийди. Төмөнкү көз карандылык байкалат: 1 – (а), 2 – (б), 3 – (в). Жыйынтык топтомдорду мындай салыштыруу бижекция болуп саналат деген чечим болот.
- Турнирдин экинчи платформасы. Биринчи жаачы бир гана бутага тийет. Экинчиси да бир гана бутага тийет. Үчүнчүсү чындап аракет кылбайт жана бардыгын башкалардан кийин кайталайт, бирок шарт бирдей - бардык жаачылар ар кандай буталарды атышат. Бирок, мурда айтылгандай, экинчи платформада буга чейин төрт максат бар. Көз карандылык: 1 - (а), 2 - (б), 3 - (в), (г) - көптүктүн жупташтырылбаган элементи. Бул учурда, тыянак мындай топтомду салыштыруу инъекция болуп саналат деген тыянак болот.
- Турнирдин үчүнчү жери. Биринчи жаачы бир гана бутага тийет. Экинчиси дагы бир гана бутага тийет. Үчүнчүсү өзүн тартууну чечип, үчүнчү жана төртүнчү буталарды урат. Натыйжада, көз карандылык: 1 -(а), 2 - (б), 3 - (в), 3 - (г). Бул жерде жыйындыларды мындай салыштыруу күмөндүү деген тыянак чыгарылат.
- Турнирдин төртүнчү платформасы. Биринчиси менен, баары түшүнүктүү, ал бир гана бутага тийет, анда жакында тажатма соккуларга орун калбай калат. Эми экинчиси жакында эле үчүнчүнүн ролун алат жана дагы бир гана бутага тийип, биринчиден кийин кайталанат. Үчүнчүсү өзүн башкара берет жана үчүнчү жана төртүнчү бутага жебесин киргизүүнү токтотпойт. Бешинчи, бирок, дагы эле анын көзөмөлүнөн тышкары болчу. Ошентип, көз карандылык: 1 - (а), 2 - (б), 3 - (в), 3 - (г), (д) - максаттардын жыйындысынын жупташкан элементи. Жыйынтык: топтомдорду мындай салыштыруу суръекция эмес, инъекция эмес жана бижекция эмес.
Эми бижекция, инъекция же сурьекцияны куруу, ошондой эле алардын ортосундагы айырмачылыктарды табуу кыйынчылык жаратпайт.
