"Чексиздик" сөзүндө ар бир адамдын өзүнүн ассоциациялары бар. Көптөр кыялында горизонттун ары жагындагы деңизди тартышса, башкалардын көз алдында чексиз жылдыздуу асмандын сүрөтү бар. Сандар менен иштөөгө көнүп калган математиктер чексиздикти таптакыр башкача элестетет. Көптөгөн кылымдар бою алар өлчөө үчүн керектүү физикалык чоңдуктардын эң чоңун табууга аракет кылып келишет. Алардын бири Грэм саны болуп саналат. Анда канча нөл бар жана ал эмне үчүн колдонулганы ушул макалада айтылат.
Чексиз чоң сан
Математикада мындай өзгөрмөнүн аталышы x , эгерде кандайдыр бир оң M саны үчүн N натурал санын көрсөтүүгө болот, ошондой эле бардык n сандары үчүн Nдан чоңураак теңсиздик |x | > M. Бирок, мисалы, Z бүтүн санын чексиз чоң деп кароого болбойт, анткени ал ар дайым (Z + 1) аз болот.
"Дөөлөр" жөнүндө бир нече сөз
Физикалык мааниси бар эң чоң сандар:
- 1080. Адатта квинквавигинтилион деп аталган бул сан Ааламдагы кварктардын жана лептондордун (эң кичинекей бөлүкчөлөр) болжолдуу санын белгилөө үчүн колдонулат.
- 1 Google. Ондук системадагы мындай сан 100 нөлү бар бирдик катары жазылат. Кээ бир математикалык моделдер боюнча, чоң жарылуу болгон учурдан тартып эң чоң кара тешиктин жарылуусуна чейин 1 жылдан 1,5 гугол жылга чейин өтүшү керек, андан кийин биздин аалам өзүнүн жашоосунун акыркы этабына өтөт, б.а. бул сандын белгилүү бир физикалык мааниси бар деп ойлойлу.
- 8, 5 x 10185. Планктын туруктуусу 1,616199 x 10-35 m, б.а. ондук белгиде 0,0000000000000000000000000000616199 м окшойт. Бир дюймда болжол менен 1 googol Планк узундугу бар. Болжол менен болжол менен 8,5 x 10185 Планк узундугу биздин бүт ааламга туура келет.
- 277 232 917 – 1. Бул белгилүү эң чоң жөнөкөй сан. Анын экилик белгилер кыйла компакттуу формага ээ болсо, анда аны ондук формада чагылдыруу үчүн 13 миллион белгиден кем эмес талап кылынат. Ал 2017-жылы Mersenne номерлерин издөө долбоорунун алкагында табылган. Эгерде энтузиасттар ушул багытта ишин уланта беришсе, анда компьютердик технологиянын азыркы өнүгүү деңгээлинде жакынкы келечекте алар 277 232 917 чоңураак даражадагы Мерсенн санын таба алышпайт.- 1, бирок ушундайбактылуу жеңүүчү 150 000 АКШ долларына ээ болот.
- Hugoplex. Бул жерде биз жөн гана 1 алып, андан кийин 1 googol өлчөмүндө нөлдөрдү кошобуз. Бул санды 10^10^100 деп жазсаңыз болот. Аны ондук санда көрсөтүү мүмкүн эмес, анткени Ааламдын бүт мейкиндиги кагаз кесимдери менен толтурулган болсо, алардын ар бирине 0 "Word" шрифти 10 өлчөмүндө жазыла турган болсо, анда бул учурда анын жарымы гана googolplex номери үчүн 1ден кийинки 0дүн баары алынат.
- 10^10^10^10^10^1.1. Бул Пуанкаре теоремасына ылайык, биздин Аалам кокус кванттык термелүүлөрдүн натыйжасында бүгүнкү күнгө жакын абалга кайтып келе турган жылдардын санын көрсөткөн сан.
Грэмдин сандары кантип пайда болгон
1977-жылы илимдин белгилүү популяризатору Мартин Гарднер Scientific American журналына Грэмдин Рамз теориясынын көйгөйлөрүнүн бирин далилдеген макаласын жарыялаган. Анда ал окумуштуу белгилеген чекти олуттуу математикалык ой жүгүртүүдө колдонулган эң чоң сан деп атаган.
Роналд Льюис Грэм деген ким
80ге таяп калган окумуштуу Калифорнияда төрөлгөн. 1962-жылы Беркли университетинде математика илимдеринин кандидаты даражасын алган. Ал Bell лабораториясында 37 жыл иштеп, кийин AT&T лабораториясына көчүп кеткен. Окумуштуу 20-кылымдын эң улуу математиктеринин бири Пал Эрдос менен жигердүү кызматташкан жана көптөгөн абройлуу сыйлыктардын ээси. Грэмдин илимий библиографиясы 320дан ашык илимий макалаларды камтыйт.
70-жылдардын орто ченинде окумуштууну теория менен байланышкан маселе кызыктырган. Рэмси. Анын далилдөөсүндө, чечимдин жогорку чеги аныкталган, бул абдан чоң сан, кийинчерээк Рональд Грэмдин аты менен аталган.
Гиперкуб маселеси
Грэм санынын маңызын түшүнүү үчүн, адегенде анын кантип алынганын түшүнүшүңүз керек.
Окумуштуу жана анын кесиптеши Брюс Ротшильд төмөнкү маселени чечип жатышкан:
N-өлчөмдүү гиперкуб бар. Анын чокуларынын бардык түгөйлөрү 2чокулары бар толук график алынгандай туташтырылган. Анын ар бир чети көк же кызыл түстө. Ар бир мындай түстө бир тегиздикте жаткан 4 чокусу бар толук монохроматтык субграф болушу үчүн гиперкуб болушу керек болгон чокулардын минималдуу санын табуу талап кылынган.
Чечим
Грэм жана Ротшильд маселенин 6 ⩽ N' ⩽N шартын канааттандыруучу N' чечими бар экенин далилдешти, мында N - так аныкталган, абдан чоң сан.
N үчүн төмөнкү чекти кийинчерээк башка илимпоздор такташкан, алар N 13төн чоң же барабар болушу керектигин далилдешкен. Ошентип, жогоруда келтирилген шарттарды канааттандырган гиперкубдун чокуларынын эң аз санынын туюнтмасы болуп калды. 13 ⩽ N'⩽ N.
Кнуттун жебеси
Грэм санын аныктоодон мурун, анын символикалык чагылдыруу ыкмасы менен таанышып чыгышыңыз керек, анткени ондук да, экилик белгилер да бул үчүн таптакыр ылайыктуу эмес.
Учурда бул чоңдукту көрсөтүү үчүн Кнуттун жебе белгиси колдонулат. Анын айтымында:
ab=a "өйдө жебе" b.
Бир нече экспонентациянын иштеши үчүн төмөнкү жазуу киргизилди:
a "өйдө жебе" "өйдө жебе" b=ab="b даанасынын өлчөмүндөгү адан турган мунара."
Ал эми пентация үчүн, б.а. мурунку оператордун кайталануучу даражасын белгилөө үчүн, Кнут буга чейин 3 жебени колдонгон.
Грэм саны үчүн бул белгини колдонуу менен, бизде 64 даана өлчөмүндө бири-бирине уя салынган "жебе" ырааттуулугу бар.
Масштаб
Алардын фантазиясын козгогон жана адамдын аң-сезиминин чектерин кеңейтип, аны Ааламдын чегинен чыгарып, Грэм жана анын кесиптештери гиперкубду далилдөөдө N санынын жогорку чеги катары алышкан. жогоруда көрсөтүлгөн маселе. Анын масштабы канчалык чоң экенин карапайым адам элестетүү өтө кыйын.
Символдордун саны же кээде жаңылыш айтылгандай, Грэмдин санындагы нөлдөр жөнүндөгү суроо бул маанини биринчи жолу уккандардын дээрлик бардыгын кызыктырат.
Биз 64 мүчөдөн турган тездик менен өсүп жаткан ырааттуулук менен күрөшүп жатканыбызды айтсак жетиштүү. Ал тургай анын биринчи мөөнөтүн элестетүү мүмкүн эмес, анткени ал 3-тен турган n "мунаралардан" турат. Ансыз деле анын 3 үч кабаттуу "төмөнкү кабаты" 7 625 597 484 987ге барабар, башкача айтканда, 7 миллиарддан ашат, башкача айтканда 64-кабат (мүчөсү эмес!). Ошентип, учурда Грэм саны эмне экенин так айтуу мүмкүн эмес, анткени аны эсептөө жетишсиз. Бүгүнкү күндө жер бетинде бар бардык компьютерлердин биргелешкен күчү.
Рекорд бузулдубу?
Крускалдын теоремасын далилдөө процессинде Грэмдин саны «пьедесталдан ыргытылган». Окумуштуу төмөнкү маселени сунуштады:
Чектүү дарактардын чексиз ырааттуулугу бар. Крускал кандайдыр бир графиктин бир бөлүгү дайыма бар экенин далилдеди, ал чоңураак графтын бир бөлүгү жана анын так көчүрмөсү болуп саналат. Бул билдирүү эч кандай шек жаратпайт, анткени чексиздикте так кайталануучу комбинация дайыма болоору анык
Кийинчерээк, Харви Фридман бул маселени бир аз тарытып, мындай ациклдик графиктерди (дарактар) гана карап, i коэффиценти бар конкреттүү бирөө үчүн эң көп (i + k) чокулары бар экенин белгилеген. Ал ациклдик графиктердин саны канча болушу керектигин аныктоону чечти, андыктан алардын тапшырмасынын бул ыкмасы менен ар дайым башка дарактын ичине кыстарылган субдаракты табууга болот.
Бул маселе боюнча жүргүзүлгөн изилдөөлөрдүн натыйжасында N, к-ка жараша эбегейсиз ылдамдыкта өсөрү аныкталган. Атап айтканда, эгерде k=1 болсо, анда N=3. Бирок, k=2де N 11ге жетет. Эң кызыгы k=3 болгондо башталат. Бул учурда N тездик менен "учуп кетет" жана мындай мааниге жетет. Грэм санынан көп эсе көп. Анын канчалык чоң экенин элестетүү үчүн, Рональд Грэм эсептеген санды G64 (3) түрүндө жазуу жетиштүү. Ошондо Фридман-Крускал мааниси (аян. FinKraskal(3)), G(G(187196)) тартибинде болот. Башкача айтканда, чексиз чоңураак болгон мега-маани алынатойго келбеген чоң Грэм саны. Ошол эле учурда, ал тургай, алп жолу чексиздиктен аз болот. Бул түшүнүк тууралуу кененирээк сөз кылуунун мааниси бар.
Чексиздик
Эми биз манжалардагы Грэм саны эмне экенин түшүндүргөнүбүздөн кийин, бул философиялык концепцияга кандай мааниге ээ болгонун түшүнүшүбүз керек. Анткени, "чексиздик" менен "чексиз көп санды" белгилүү бир контекстте окшош деп кароого болот.
Бул маселени изилдөөгө эң чоң салымды Аристотель кошкон. Антикалык улуу ойчул чексиздикти потенциалдык жана актуалдуу деп бөлгөн. Акыркысы менен ал чексиз нерселердин бар экендигинин чындыгын билдирген.
Аристотелдин айтымында, бул фундаменталдык концепция жөнүндөгү идеялардын булактары:
- time;
- баалардын бөлүнүшү;
- чек ара түшүнүгү жана андан тышкаркы нерсенин болушу;
- чыгармачыл табияттын түгөнгүстыгы;
- чек жок деп ойлойм.
Чексиздиктин заманбап чечмелөөсүндө сиз сандык өлчөөнү көрсөтө албайсыз, андыктан эң чоң санды издөө түбөлүккө улана берет.
Тыянак
"Чексиздикке көз салуу" метафорасын жана Грэмдин санын кандайдыр бир мааниде синоним катары кароого болобу? Андан көрө ооба жана жок. Экөөнү тең элестетүү мүмкүн эмес, ал тургай эң күчтүү элестетүү менен. Бирок, буга чейин айтылгандай, аны "эң, эң" деп эсептөөгө болбойт. Дагы бир нерсе, учурда Грэм санынан чоңураак баалуулуктар белгиленген эмесфизикалык сезим.
Ошондой эле, ал чексиз сандынкасиеттерине ээ эмес, мисалы:
- ∞ + 1=∞;
- так жана жуп сандардын чексиз саны бар;
- ∞ - 1=∞;
- так сандардын саны бардык сандардын так жарымы;
- ∞ + ∞=∞;
- ∞/2=∞.
Кыскача айтканда: Грэмдин саны Гиннестин рекорддор китебине ылайык, математикалык далилдөө практикасындагы эң чоң сан. Бирок бул мааниден бир нече эсе чоң сандар бар.
Келечекте мындан да чоң "дөөлөргө" муктаждык жаралышы мүмкүн, өзгөчө, эгер адам биздин Күн системасынын чегинен чыгып кетсе же биздин аң-сезимибиздин азыркы деңгээлинде ойго келбеген нерсени ойлоп тапса.
