Квадрикалык теңдеме көбүнчө математика жана физиканын бир катар маселелеринде кездешет, ошондуктан ар бир окуучу аларды чече билиши керек. Бул макалада квадраттык теңдемелерди чечүүнүн негизги ыкмалары, ошондой эле аларды колдонуунун мисалдары келтирилген.
Кандай теңдеме квадраттык деп аталат
Биринчиден, макала эмне жөнүндө болорун жакшыраак түшүнүү үчүн бул абзацтын суроосуна жооп беребиз. Ошентип, квадраттык теңдеме төмөнкүдөй жалпы формага ээ: c + bx+ax2=0, мында a, b, c кээ бир сандар, алар коэффициенттер деп аталат. Бул жерде a≠0 - милдеттүү шарт, антпесе көрсөтүлгөн теңдеме сызыктуу теңдемеге бузулат. Калган коэффициенттер (b, c) нөлдү кошкондо, ар кандай маанилерди кабыл алышы мүмкүн. Ошентип, ax2=0 сыяктуу туюнтмалар, мында b=0 жана c=0, же c+ax2=0, мында b=0, же bx+ax2=0, мында c=0 дагы квадраттык теңдемелер, алар толук эмес деп аталат, анткени алардагы сызыктуу b коэффициенти нөлгө же нөлгө барабар.бекер термин c, же экөө тең жок болот.
А=1 кыскартылган деп аталган теңдеме, башкача айтканда, төмөнкү түргө ээ: x2 + с/a + (b/a)x=0.
Квадраттык теңдеменин чечими анын теңдигин канааттандырган мындай х чоңдуктарды табуу болуп саналат. Бул баалуулуктар тамырлар деп аталат. Каралып жаткан теңдеме экинчи даражадагы туюнтма болгондуктан, анын тамырларынын максималдуу саны экиден ашпашы керек.
Квадрат теңдемелерди чечүүнүн кандай ыкмалары бар
Жалпысынан чечүүнүн 4 ыкмасы бар. Алардын аттары төмөндө келтирилген:
- Факторинг.
- Аянтка кошуу.
- Белгилүү формуланы колдонуу (дискриминант аркылуу).
- Чечүү ыкмасы геометриялык.
Жогорудагы тизмеден көрүнүп тургандай, биринчи үч ыкма алгебралык, ошондуктан алар функциянын графиктерин түзүүнү камтыган акыркысына караганда көбүрөөк колдонулат.
Вьета теоремасын колдонуу менен квадрат теңдемелерди чечүүнүн дагы бир жолу бар. Ал жогорудагы тизмеге 5-орунга киргизилиши мүмкүн, бирок бул аткарылган жок, анткени Виетанын теоремасы 3- методдун жөнөкөй натыйжасы.
Кийинчерээк макалада биз аталган чечүү ыкмаларын кененирээк карап чыгабыз, ошондой эле аларды конкреттүү теңдемелердин тамырларын табуу үчүн колдонуунун мисалдарын келтиребиз.
Метод №1. Факторинг
Квадрат теңдемелердин математикасында бул ыкма үчүн коозаты: факторизация. Бул ыкманын маңызы төмөндөгүдөй: квадраттык теңдемени эки мүчөнүн (туюнтмалардын) көбөйтүндүсү катары берүү зарыл, ал нөлгө барабар болушу керек. Мындай көрсөтүүдөн кийин, анын бир же бир нече (бардык) мүчөлөрү нөл болгондо гана нөлгө барабар болгон продукт касиетин колдоно аласыз.
Эми теңдеменин тамырларын табуу үчүн аткарылышы керек болгон конкреттүү аракеттердин ырааттуулугун карап көрөлү:
- Баардык мүчөлөрдү туюнтумдун бир бөлүгүнө жылдырыңыз (мисалы, солго), анын башка бөлүгүндө (оңго) 0 гана калды.
- Теңдеменин бир бөлүгүндөгү мүчөлөрдүн суммасын эки сызыктуу теңдеменин көбөйтүндүсү катары көрсөтүү.
- Сызыктуу туюнтмалардын ар бирин нөлгө коюп, аларды чечиңиз.
Көрүп тургандай, факторизация алгоритми абдан жөнөкөй, бирок 2-пунктту ишке ашырууда окуучулардын көбү кыйынчылыктарга дуушар болушат, ошондуктан биз аны кененирээк түшүндүрүп беребиз.
Кандай эки сызыктуу туюнтма бири-бирине көбөйтүлгөндө, керектүү квадраттык теңдемени берерин болжолдоо үчүн эки жөнөкөй эрежени эстеп калуу керек:
- Эки сызыктуу туюнтманын сызыктуу коэффициенттери бири-бирине көбөйтүлгөндө квадраттык теңдеменин биринчи коэффициентин, башкача айтканда a санын бериши керек.
- Сызыктуу туюнтмалардын эркин мүчөлөрү көбөйтүлгөндө, керектүү теңдеменин c санын бериши керек.
Факторлордун бардык сандары тандалгандан кийин, аларды көбөйтүү керек жана алар керектүү теңдемени берсе, анда 3-кадамга өтүңүзжогорудагы алгоритмди колдонуңуз, антпесе көбөйткүчтөрдү өзгөртүшүңүз керек, бирок жогорудагы эрежелер дайыма сакталышы үчүн муну кылышыңыз керек.
Факторизация ыкмасы менен чечүүнүн мисалы
Квадрат теңдемени чечүү алгоритми белгисиз тамырларды кантип түзүү жана табуу экенин ачык көрсөтөлү. Ыктыярдуу туюнтма берилсин, мисалы, 2x-5+5x2-2x2=x2+2+x2+1. Макаланын мурунку абзацында баяндалган 1ден 3кө чейинки пункттардын ырааттуулугун сактоо менен анын чечилишине өтөбүз.
1-пункт. Бардык мүчөлөрдү сол тарапка жылдырыңыз жана аларды квадраттык теңдеме үчүн классикалык ырааттуулукта жайгаштырыңыз. Бизде төмөнкү теңчилик бар: 2x+(-8)+x2=0.
2-пункт. Аны сызыктуу теңдемелердин көбөйтүндүсүнө бөлөбүз. a=1, жана c=-8 болгондуктан, биз, мисалы, мындай продуктту тандап алабыз (x-2)(x+4). Ал жогорудагы пунктта белгиленген күтүлгөн факторлорду табуу эрежелерин канааттандырат. Кашаларды ачсак: -8+2x+x2, башкача айтканда, теңдеменин сол тарабындагыдай эле туюнтманы алабыз. Бул көбөйтүүчүлөрдү туура тапканыбызды жана алгоритмдин 3-кадамына өтө алабыз дегенди билдирет.
3-пункт. Ар бир факторду нөлгө теңеп, биз төмөнкүнү алабыз: x=-4 жана x=2.
Натыйжада кандайдыр бир шектенүүлөр болсо, табылган тамырларды баштапкы теңдемеге алмаштыруу менен текшерүү сунушталат. Бул учурда бизде: 22+22-8=0 жана 2(-4)+(-4)2 -8=0. Тамырлар туура табылды.
Ошентип, факторизация ыкмасын колдонуп, биз берилген теңдеменин эки башка тамыры бар экенин таптык.бар: 2 жана -4.
Метод №2. Толук квадрат
менен толуктоо
Квадрат теңдемелердин алгебрасында ар дайым көбөйтүүчү ыкманы колдонуу мүмкүн эмес, анткени квадраттык теңдеменин коэффициенттеринин бөлчөк маанилери болгон учурда алгоритмдин 2-пунктун аткарууда кыйынчылыктар пайда болот.
Толук квадраттык метод өз кезегинде универсалдуу жана бардык типтеги квадраттык теңдемелерге колдонулушу мүмкүн. Анын маңызы төмөнкү операцияларды аткаруу болуп саналат:
- А жана b коэффициенттерин камтыган теңдеменин мүчөлөрү теңдеменин бир бөлүгүнө, ал эми c бош мүчөсү экинчи бөлүгүнө өткөрүлүшү керек.
- Андан кийин теңдиктин бөлүктөрүн (оң жана сол) a коэффициентине бөлүү керек, башкача айтканда, теңдеме кыскартылган түрдө (a=1) берилиши керек.
- Сызыктуу теңдеменин квадраты катары көрсөтүү үчүн a жана b коэффициенттери бар мүчөлөрдү кошуңуз. a \u003d 1 болгондуктан, анда сызыктуу коэффициент 1ге барабар болот, сызыктуу теңдеменин эркин мүчөсү үчүн, анда ал кыскартылган квадраттык теңдеменин сызыктуу коэффициентинин жарымына барабар болушу керек. Сызыктуу туюнтумдун квадраты түзүлгөндөн кийин, квадратты кеңейтүү менен алынган эркин термин жайгашкан теңдиктин оң жагына тиешелүү санды кошуу керек.
- "+" жана "-" белгилери бар квадрат тамырды алып, мурунтан эле алынган сызыктуу теңдемени чечиңиз.
Сүрөттөлгөн алгоритм бир караганда татаал болуп кабылданышы мүмкүн, бирок иш жүзүндө факторизация ыкмасына караганда аны ишке ашыруу оңой.
Толук чарчы толуктоочту колдонуу менен чечүүнүн мисалы
Мурунку абзацта сүрөттөлгөн ыкма менен анын чечилишин үйрөтүү үчүн квадраттык теңдемеге мисал келтирели. -10 - 6x+5x2=0 квадраттык теңдеме берилсин. Аны жогоруда сүрөттөлгөн алгоритм боюнча чече баштайбыз.
1-пункт. Квадрат теңдемелерди чыгарууда өткөрүү ыкмасын колдонобуз, биз төмөнкүнү алабыз: - 6x+5x2=10.
2-пункт. Бул теңдеменин кыскартылган түрү анын ар бир мүчөсүнүн 5 санына бөлүү жолу менен алынат (эгерде эки бөлүк тең бөлүнсө же бирдей санга көбөйсө, анда теңдик сакталат). Өзгөртүүлөрдүн натыйжасында биз төмөнкүлөрдү алабыз: x2 - 6/5x=2.
3-пункт. Коэффициенттин жарымы - 6/5 -6/10=-3/5, квадратты толтуруу үчүн бул санды колдонуңуз, биз: (-3/5+x) 2 . Аны кеңейтебиз жана пайда болгон бош мүчөнү квадрат теңдеменин оң жагына кошууга барабар болгон баштапкы формасын канааттандыруу үчүн теңдиктин сол жагынан алып салуу керек. Натыйжада: (-3/5+x)2=59/25.
4-пункт. Оң жана терс белгилери бар квадрат тамырды эсептеп, тамырларды табыңыз: x=3/5±√59/5=(3±√59)/5. Табылган эки тамырдын төмөнкү маанилери бар: x1=(√59+3)/5 жана x1=(3-√59)/5.
Аткарылган эсептөөлөр тамырларга байланыштуу болгондуктан, ката кетирүү ыктымалдыгы жогору. Ошондуктан, x2 жана x1 тамырларынын тууралыгын текшерүү сунушталат. Биз x1 үчүн алабыз: 5((3+√59)/5)2-6(3+√59)/5 - 10=(9+59+6√59)/5 - 18/5 - 6√59/5-10=68/5-68/5=0. Азыр алмаштырууx2: 5((3-√59)/5)2-6(3-√59)/5 - 10=(9+59-6√59)/5 - 18/5 + 6√59/5-10=68/5-68/5=0.
Ошентип, биз теңдеменин табылган тамырлары туура экенин көрсөттүк.
Метод №3. Белгилүү формуланы колдонуу
Квадрат теңдемелерди чечүүнүн бул ыкмасы, балким, эң жөнөкөй, анткени ал коэффициенттерди белгилүү формулага алмаштыруудан турат. Аны колдонуу үчүн чечүү алгоритмдерин түзүү жөнүндө ойлонуунун кажети жок, бир гана формуланы эстеп калуу жетиштүү. Ал жогорудагы сүрөттө көрсөтүлгөн.
Бул формулада радикалдык туюнтма (b2-4ac) дискриминант (D) деп аталат. Анын баасы кандай тамырлар алынганына жараша болот. 3 учур бар:
- D>0, анда эки түпкү теңдемеде реалдуу жана башка теңдеме бар.
- D=0, анда x=-b/(a2) туюнтмасынан эсептелүүчү тамыр алынат.
- D<0, анда татаал сандар катары берилген эки башка элестүү тамырды аласыз. Мисалы, 3-5i саны татаал, ал эми элестүү бирдик i касиетти канааттандырат: i2=-1.
Дисскриминантты эсептөө аркылуу чечүүнүн мисалы
Жогорудагы формуланы колдонуп көнүгүү үчүн квадраттык теңдемеге мисал келтирели. -3x2-6+3x+4x=0 үчүн тамырларды табыңыз. Биринчиден, дискриминанттын маанисин эсептеп, биз төмөнкүнү алабыз: D=b 2 -4ac=72-4(-3)(-6)=-23.
D<0 алынгандыктан, бул каралып жаткан теңдеменин тамырлары комплекстүү сандар экенин билдирет. Мурунку абзацта берилген формулага табылган D маанисин алмаштыруу менен аларды табалы (ал жогорудагы сүрөттө да көрсөтүлгөн). Биз төмөнкүнү алабыз: x=7/6±√(-23)/(-6)=(7±i√23)/6.
Метод №4. Функциянын графигин колдонуу
Бул квадрат теңдемелерди чечүүнүн графикалык ыкмасы деп да аталат. Айта кетчү нерсе, эреже катары, ал сандык эмес, каралып жаткан теңдеменин сапаттык анализи үчүн колдонулат.
Усулдун маңызы парабола болгон y=f(x) квадраттык функциянын графигин түзүүдө. Андан кийин, парабола х огу менен (X) кайсы чекиттерде кесилишкенин аныктоо керек, алар тиешелүү теңдеменин тамыры болот.
Параболанын X огу менен кесилишкен-кесирин айтуу үчүн анын минимумунун (максимумунун) абалын жана анын бутактарынын багытын билүү жетиштүү (алар көбөйүшү же азайышы мүмкүн). Бул ийри сызыктын эки касиетин эстен чыгарбоо керек:
- Эгер a>0 - бутагынын параболалары өйдө багытталган болсо, тескерисинче, a<0 болсо, анда алар ылдыйлайт.
- Параболанын минималдуу (максималдуу) координаты дайыма x=-b/(2a).
Мисалы, -4x+5x2+10=0 теңдемесинин тамыры бар же жок экенин аныкташыңыз керек. Тиешелүү парабола өйдө карай багытталат, анткени a=5>0. Анын экстремумунун координаттары бар: x=4/10=2/5, y=-42/5+5(2/5)2+10=9, 2. ийри сызыктын минимуму х огунун үстүндө жатат (y=9, 2), анда ал экинчисин эч кандай кесилбейт.x маанилери. Башкача айтканда, берилген теңдеменин чыныгы тамыры жок.
Вьета теоремасы
Жогоруда белгиленгендей, бул теорема дискриминанты бар формуланы колдонууга негизделген №3 методдун натыйжасы. Виеталык теореманын маңызы бул теңдеменин коэффициенттерин жана анын тамырларын теңдикке туташтырууга мүмкүндүк берет. Келгиле, тиешелүү теңчиликтерди алалы.
Келгиле, дискриминант аркылуу тамырларды эсептөө формуласын колдонолу. Эки тамырды кошуп, биз: x1+x2=-b/a. Эми тамырларды бири-бирине көбөйтөлү: x1x2, бир катар жөнөкөйлөтүүлөрдөн кийин c/a санын алабыз.
Ошентип, квадраттык теңдемелерди Vieta теоремасы менен чечүү үчүн, алынган эки барабардыкты колдонсоңуз болот. Эгерде теңдеменин үч коэффициенти тең белгилүү болсо, анда бул эки теңдеменин тиешелүү системасын чечүү аркылуу тамырларды табууга болот.
Вьета теоремасын колдонуунун мисалы
Эгер сиз квадраттык теңдеменин x2+c=-bx түрүнө ээ экенин жана анын тамырлары 3 жана -4 экенин билсеңиз, аны жазышыңыз керек.
Каралып жаткан теңдемеде a=1 болгондуктан, Vieta формулалары төмөнкүдөй болот: x2+x1=-b жана x2x1=б. Тамырлардын белгилүү маанилерин алмаштырып, биз алабыз: b=1 жана c=-12. Натыйжада, калыбына келтирилген квадраттык кыскартылган теңдеме төмөнкүдөй болот: x2-12=-1x. Ага тамырлардын маанисин алмаштырып, теңчилик сакталганын текшерсеңиз болот.
Вьета теоремасын тескери колдонуу, башкача айтканда, тамырларды эсептөөТеңдеменин белгилүү түрү, a, b жана c кичинекей бүтүн сандарына тез (интуитивдик) чечимдерди табууга мүмкүндүк берет.
