Математикадагы маанилүү түшүнүк бул функция. Анын жардамы менен табиятта болуп жаткан көптөгөн процесстерди элестете аласыз, формулаларды, таблицаларды жана графиктеги сүрөттөрдү колдонуу менен белгилүү бир чоңдуктардын ортосундагы байланышты чагылдыра аласыз. Мисал катары денеге суюк катмардын басымынын чөмүлүү тереңдигине, ылдамдануу – белгилүү бир күчтүн нерсеге тийгизген таасирине, температуранын жогорулашына – берилүүчү энергияга жана башка көптөгөн процесстерге көз карандылыгы мисал боло алат. Функцияны изилдөө графикти курууну, анын касиеттерин, масштабын жана маанилерин, өсүү жана азаюу интервалдарын тактоону камтыйт. Бул процесстин маанилүү учуру экстремум чекиттерин табуу болуп саналат. Муну кантип туура кылуу керек, анан сүйлөшүү уланат.
Конкреттүү мисалдагы түшүнүктүн өзү жөнүндө
Медицинада функция графигин түзүү бейтаптын абалын визуалдык түрдө чагылдырып, анын денесиндеги оорунун жүрүшү жөнүндө айтып бере алат. Убакыттын суткалык көрсөткүчү OX огу боюнча, ал эми адамдын денесинин температурасы OY огу боюнча түзүлгөн деп эсептейли. көрсөткүч бул көрсөткүч кескин көтөрүлөт кантип ачык көрсөтүп турат, жанаанан түшөт. Функциянын мурда көбөйүп, азайып баштаган учурларын чагылдырган сингулярдуу чекиттерди да оңой эле байкоого болот жана тескерисинче. Бул экстремалдык чекиттер, башкача айтканда, бул учурда пациенттин температурасынын критикалык маанилери (максималдуу жана минимум), андан кийин анын абалы өзгөрөт.
Көңүл бурчу
Функциянын туундусу кандай өзгөрөрүн сүрөттөн аныктоо оңой. Графиктин түз сызыктары убакыттын өтүшү менен көтөрүлсө, анда ал оң болот. Жана алар канчалык тик болсо, жантайыңкы бурчу өскөн сайын туундунун мааниси ошончолук чоң болот. Төмөндөө мезгилдеринде бул маани экстремум чекиттеринде нөлгө айланып, терс маанилерди алат жана акыркы учурда туундунун графиги OX огуна параллелдүү түзүлөт.
Башка процесстерге да ушундай мамиле кылуу керек. Бирок бул концепциянын эң жакшы жагы графиктерде так көрсөтүлгөн ар кандай денелердин кыймылын айта алат.
Кыймыл
Кээ бир нерсе бир калыпта ылдамдыкка ээ болуп, түз сызыкта жылды дейли. Бул мезгилде дененин координаталарынын өзгөрүшү графикалык түрдө белгилүү бир ийри сызыкты көрсөтөт, аны математик параболанын бутагы деп атайт. Ошол эле учурда, функция тынымсыз өсүп жатат, анткени координаттардын көрсөткүчтөрү секунд сайын тезирээк жана тез өзгөрөт. Ылдамдык графиги туундунун жүрүм-турумун көрсөтөт, анын мааниси да жогорулайт. Бул кыймылдын критикалык пункттары жок экенин билдирет.
Бул чексиз уланмак. Ал эми дене күтүлбөгөн жерден жайлатууну чечсе, токтоп, башка кыймылдай башташатбагыт? Бул учурда координаттардын көрсөткүчтөрү төмөндөй баштайт. Жана функция критикалык мааниден өтүп, чоңоюудан азаюуга өтөт.
Бул мисалда функциянын графигиндеги экстремум чекиттери ал монотондуу болбой калган учурда пайда болоорун дагы бир жолу түшүнө аласыз.
Туундунун физикалык мааниси
Мурда сүрөттөлгөн туунду функциянын өзгөрүү ылдамдыгы экенин ачык көрсөттү. Бул тактоо өзүнүн физикалык маанисин камтыйт. Экстремалдуу чекиттер диаграммадагы маанилүү жерлер. Аларды нөлгө барабар болгон туундунун маанисин эсептөө менен таап, аныктоого болот.
Экстремум үчүн жетиштүү шарт болгон дагы бир белги бар. Мындай ийилүү жерлериндеги туунду өзүнүн белгисин өзгөртөт: максимум аймагында "+"ден "-"ге чейин жана минимум аймагында "-"ден "+"ге чейин.
Гравитациянын таасири астындагы кыймыл
Башка жагдайды элестетели. Топ ойноп жаткан балдар аны горизонтко бурч менен жыла баштагандай кылып ыргытышты. Баштапкы учурда бул объекттин ылдамдыгы эң чоң болгон, бирок тартылуу күчүнүн таасири астында ал азая баштаган жана ар бир секунд сайын бирдей мааниде болжол менен 9,8 м/с2. Бул эркин түшүү учурунда жердин тартылуу күчү таасири астында пайда болгон ылдамдануунун мааниси. Айда ал болжол менен алты эсе кичине болмок.
Дененин кыймылын сүрөттөгөн график бутактары бар парабола,ылдый. Экстремум чекиттерин кантип тапса болот? Бул учурда бул функциянын чокусу, мында дененин (шардын) ылдамдыгы нөлдүк маанини алат. Функциянын туундусу нөлгө айланат. Бул учурда, багыт, демек, ылдамдыктын мааниси, тескерисинче өзгөрөт. Дене секунд сайын ылдамыраак жана ылдамыраак учуп, ошол эле өлчөмдө ылдамдайт - 9,8 м/с2.
Экинчи туунду
Мурунку учурда ылдамдык модулунун графиги түз сызык катары тартылган. Бул сызык алгач ылдый карай багытталган, анткени бул чоңдуктун мааниси тынымсыз төмөндөп турат. Убакыттын биринде нөлгө жеткенде, бул маанинин көрсөткүчтөрү көбөйө баштайт жана ылдамдык модулунун графикалык чагылдырылышынын багыты кескин өзгөрөт. Азыр сызык өйдө карады.
Координатанын убакыттын туундусу болгон ылдамдыктын да критикалык пункту бар. Бул аймакта алгач азайган функция жогорулай баштайт. Бул функциянын туундусунун экстремум чекитинин орду. Бул учурда тангенстин жантайышы нөлгө айланат. Ал эми ылдамдануу координатанын убакытка карата экинчи туундусу болгондуктан белгини “-” дан “+” га өзгөртөт. Ал эми бир калыпта жайдан кыймыл бир калыпта ылдамдалат.
Ылдамдатуу диаграммасы
Эми төрт сүрөттү карап көрөлү. Алардын ар бири ылдамдануу сыяктуу физикалык чоңдуктун убакыттын өтүшү менен өзгөрүү графигин көрсөтөт. "А" учурда анын мааниси оң жана туруктуу бойдон калат. Бул дененин ылдамдыгы, анын координаты сыяктуу эле, тынымсыз өсүп жатканын билдирет. Эгеробъект чексиз узак убакытка ушундай жол менен кыймылдаарын элестетсең, координатанын убакыттан көз карандылыгын чагылдырган функция тынымсыз өсүп чыгат. Мындан анын критикалык аймактары жок экени келип чыгат. Туундунун графигинде экстремум чекиттери да жок, башкача айтканда сызыктуу өзгөрүүчү ылдамдык.
Ошол эле оң жана тынымсыз өсүп жаткан ылдамдануу "B" учуруна да тиешелүү. Ырас, координаттар жана ылдамдык үчүн графиктер бул жерде бир аз татаалыраак болот.
Ылдамдоо нөлгө барабар болгондо
"В" сүрөтүн көрүп, дененин кыймылын мүнөздөгөн такыр башка сүрөттү көрө аласыз. Анын ылдамдыгы ылдый караган бутактары бар парабола катары графикалык түрдө сүрөттөлөт. Эгерде биз ылдамдануунун өзгөрүшүн сүрөттөгөн сызыкты ал OX огу менен кесилишкенге чейин уланта турган болсок жана андан ары, анда биз тездетүү нөлгө барабар болуп чыккан бул критикалык мааниге чейин объекттин ылдамдыгы жогорулайт деп элестете алабыз. барган сайын жайыраак. Координаталык функциянын туундусунун экстремум чекити параболанын эң башында болот, андан кийин дене кыймылдын мүнөзүн түп-тамырынан бери өзгөртүп, башка багытка жыла баштайт.
Акыркы учурда, "G", кыймылдын мүнөзүн так аныктоо мүмкүн эмес. Бул жерде биз карап жаткан кээ бир мезгил үчүн эч кандай тездетүү бар экенин гана билебиз. Бул объект ордунда кала алат же кыймыл туруктуу ылдамдыкта болот дегенди билдирет.
Координациялоо тапшырмасы
Мектепте алгебраны изилдөөдө көп кездешүүчү жана сунуш кылынган тапшырмаларга өтөбүзэкзаменге даярдоо. Төмөнкү сүрөттө функциянын графиги көрсөтүлгөн. Экстремум баллдардын суммасын эсептөө талап кылынат.
Функциянын мүнөздөмөлөрүнүн өзгөрүүсү байкалган критикалык аймактардын координаталарын аныктоо менен у огу үчүн муну жасайлы. Жөнөкөй сөз менен айтканда, биз ийилүү чекиттери үчүн x огу боюнча маанилерди табабыз, андан кийин пайда болгон шарттарды кошууга киришебиз. Графикке ылайык, алар төмөнкүдөй маанилерди алганы көрүнүп турат: -8; -7; -5; -3; -2; бир; 3. Бул -21ге чейин кошулат, бул жооп.
Оптималдуу чечим
Практикалык тапшырмаларды аткарууда оптималдуу чечимди тандоо канчалык маанилүү боло аларын түшүндүрүү зарыл эмес. Анткени, максатка жетүү үчүн көптөгөн жолдор бар, жана мыкты чыгуунун жолу, эреже катары, бир гана. Бул, мисалы, кемелерди, космостук аппараттарды жана учактарды, архитектуралык курулуштарды долбоорлоодо бул техногендик объекттердин оптималдуу формасын табуу үчүн өтө зарыл.
Унаалардын ылдамдыгы көбүнчө гравитациялык күчтөрдүн жана башка көптөгөн көрсөткүчтөрдүн таасири астында пайда болгон ашыкча жүктөөлөрдөн, суу жана аба аркылуу өтүүдө дуушар болгон каршылыкты компетенттүү минималдаштыруудан көз каранды. Деңиздеги кеме бороон-чапкын учурунда туруктуулук сыяктуу сапаттарга муктаж, дарыя кемеси үчүн минимум суюктук маанилүү. Оптималдуу дизайнды эсептөөдө графиктеги экстремум чекиттери татаал маселенин эң жакшы чечими жөнүндө визуалдык түрдө түшүнүк бере алат. Мындай тапшырмалар көп кездешетэкономикада, экономикалык аймактарда, көптөгөн башка турмуштук кырдаалдарда чечилет.
Байыркы тарыхтан
Өтө көйгөйлөр байыркы акылмандарды да түйшөлткөн. Грек окумуштуулары математикалык эсептөөлөр аркылуу аймактардын жана көлөмдөрдүн сырын ийгиликтүү ачышкан. Алар биринчилерден болуп бирдей периметри бар ар кандай фигуралардын тегиздигинде тегеректин аянты дайыма эң чоң экенин түшүнүшкөн. Ошо сыяктуу эле, шар мейкиндиктеги башка объектилердин арасында максималдуу көлөмгө ээ. Архимед, Евклид, Аристотель, Аполлоний сыяктуу атактуу инсандар өздөрүн ушундай маселелерди чечүүгө арнашкан. Герон экстремалдык чекиттерди табууда абдан ийгиликке жетишти, алар эсептөөлөргө кайрылып, гениалдуу түзүлүштөрдү курушту. Аларга буу, насостор жана ошол эле принципте иштеген турбиналар аркылуу кыймылдаган автоматтык машиналар кирет.
Карфагендин курулушу
Уламыш бар, анын сюжети экстремалдык маселелердин бирин чечүүгө негизделген. Даанышмандарга жардам сурап кайрылган финикиялык принцесса көрсөткөн ишкердик мамиленин натыйжасы Карфагендин курулушу болгон. Бул байыркы жана атактуу шаардын жер участогун африкалык уруулардын биринин башчысы Дидого (башкаруучунун аты эле) белек кылган. Адегенде ага үлүштүн аянты анча деле чоң көрүнгөн жок, анткени келишим боюнча ал оксид менен жабылышы керек болчу. Бирок принцесса аскерлерине аны ичке тилке кылып кесип, алардан кур жасоону буйруйт. Узун болуп калыптыр, сайтты каптап,бүт шаар дал келген жерге.
Эсептөөнүн келип чыгышы
Эми байыркы доордон кийинки доорго өтөбүз. Кызыгы, 17-кылымда Кеплерге шарап сатуучу менен жолугушууда математикалык анализдин негиздерин түшүнүүгө түрткү болгон. Соодагер өз кесибин ушунчалык жакшы өздөштүргөндүктөн, челектеги суусундуктун көлөмүн ага темир турникетке түшүрүү менен оңой эле аныктап алчу. Мындай кызыкчылык жөнүндө ой жүгүрткөн атактуу окумуштуу бул дилемманы өзү чечүүгө үлгүргөн. Көрсө, ошол кездеги чебер усталар идиштерди шакекчелердин айланасынын белгилүү бир бийиктикте жана радиусунда максималдуу сыйымдуулукка ээ боло тургандай кылып жасашкан.
Бул Кеплер үчүн андан ары ой жүгүртүүгө себеп болгон. Бочарлар оптималдуу чечимге узак изденүү, каталар жана жаңы аракеттер менен келишти, өз тажрыйбасын муундан муунга өткөрүп беришти. Бирок Кеплер бул процессти тездетип, математикалык эсептөөлөр аркылуу кыска убакыттын ичинде муну кантип жасоону үйрөнгүсү келген. Кесиптештери тарабынан алынган анын бардык иштеп чыгуулары Ферма менен Ньютондун - Лейбництин азыр белгилүү теоремаларына айланды.
Максималдуу аймак маселеси
Бизде узундугу 50 см зым бар деп элестетип көрөлү. Андан аянты эң чоң болгон тик бурчтукту кантип жасоо керек?
Чечим кабыл алууда жөнөкөй жана белгилүү чындыктардан чыгуу керек. Биздин фигурабыздын периметри 50 см болору анык. Ошондой эле эки капталынын эки эсе узундугунан турат. Бул алардын бирин "X" деп белгилеп, экинчисин (25 - X) катары көрсөтүүгө болот дегенди билдирет.
Бул жерден алабызаянты X (25 - X) барабар. Бул туюнтма көптөгөн маанилерди алган функция катары көрсөтүлүшү мүмкүн. Маселени чечүү үчүн алардын максимумун табуу талап кылынат, демек сиз экстремум чекиттериңизди табышыңыз керек.
Бул үчүн биз биринчи туундуну таап, аны нөлгө теңейбиз. Натыйжада жөнөкөй теңдеме: 25 - 2X=0.
Андан биз тараптардын бири X=12, 5 экенин билебиз.
Демек, башкасы: 25 – 12, 5=12, 5.
Маселени чечүү жагы 12,5 см болгон квадрат болот экен.
Эң жогорку ылдамдыкты кантип тапса болот
Дагы бир мисалды карап көрөлү. Түз сызыктуу кыймылы S=- t3 + 9t2 – 24t – 8 теңдемеси менен сүрөттөлгөн дене бар экенин элестетиңиз, мында аралык басып өткөн метр, ал эми убакыт секунд менен көрсөтүлөт. Бул максималдуу ылдамдыкты табуу үчүн талап кылынат. Муну кандай жасаш керек? Жүктөлүп алынган ылдамдыкты, башкача айтканда, биринчи туундуну табыңыз.
Теңдемени алабыз: V=- 3t2 + 18t – 24. Эми маселени чечүү үчүн кайрадан экстремум чекиттерин табышыбыз керек. Бул мурунку тапшырмадагыдай эле жасалышы керек. Ылдамдыктын биринчи туундусун таап, аны нөлгө теңдеңиз.
Алабыз: - 6t + 18=0. Демек, t=3 с. Бул дененин ылдамдыгы критикалык мааниге ээ болгон учур. Алынган маалыматтарды ылдамдык теңдемесинин ордуна коебуз жана алабыз: V=3 м/с.
Бирок бул так максималдуу ылдамдык экенин кантип түшүнүүгө болот, анткени функциянын критикалык чекиттери анын максималдуу же минималдуу маанилери болушу мүмкүн? Текшерүү үчүн, экинчисин табышыңыз керекылдамдыктын туундусу. Ал минус белгиси менен 6 саны катары көрсөтүлөт. Бул табылган чекит максималдуу экенин билдирет. Ал эми экинчи туундунун оң мааниси болгон учурда, минимум болмок. Ошентип, табылган чечим туура болуп чыкты.
Мисал катары берилген тапшырмалар функциянын экстремум чекиттерин табуу аркылуу чечиле турган тапшырмалардын бир бөлүгү гана. Чынында, дагы көп нерселер бар. Ал эми мындай билим адамзат цивилизациясына чексиз мүмкүнчүлүктөрдү ачат.
