Жөнөкөй жана кыскача айтканда, масштаб – бул ар кандай функция кабыл ала турган баалуулуктар. Бул теманы толук изилдеп чыгуу үчүн төмөнкү пункттарды жана түшүнүктөрдү акырындык менен ажыратуу керек. Биринчиден, функциянын аныктамасын жана анын пайда болуу тарыхын түшүнүп алалы.
Функция деген эмне
Бардык так илимдер бизге каралып жаткан өзгөрмөлөр кандайдыр бир түрдө бири-биринен көз каранды болгон көптөгөн мисалдарды берет. Мисалы, заттын тыгыздыгы анын массасы жана көлөмү менен толук аныкталат. Туруктуу көлөмдөгү идеалдуу газдын басымы температурага жараша өзгөрөт. Бул мисалдар бардык формулалардын функциялык деп аталган өзгөрмөлөр ортосундагы көз карандылыгы менен бириктирилген.
Функция бир чоңдуктун экинчи чоңдукка көз карандылыгын туюндурган түшүнүк. Ал у=f(x) формасына ээ, мында у – функциянын мааниси, ал х - аргументке көз каранды. Ошентип, биз y x маанисине көз каранды өзгөрмө деп айта алабыз. x чогуу ала турган баалуулуктар болуп саналатберилген функциянын облусу (D(y) же D(f)) жана ошого жараша у маанилери функциянын маанилеринин жыйындысын түзөт (E(f) же E(y)). Функция кандайдыр бир формула менен берилген учурлар бар. Бул учурда, аныктоо домени формула менен белги мааниге ээ болгон мындай өзгөрмөлөрдүн маанисинен турат.
Дал келген же бирдей функциялар бар. Бул жарактуу маанилердин бирдей диапазонуна ээ болгон эки функция, ошондой эле функциянын өзүнүн маанилери бирдей аргументтердин бардыгына бирдей.
Так илимдердин көптөгөн мыйзамдары чыныгы жашоодогу жагдайларга окшош деп аталат. Математикалык функция жөнүндө да ушундай кызыктуу факт бар. Функциянын чеги жөнүндө теорема бар, алар бирдей чекке ээ болгон эки башканын ортосунда - эки полициячы жөнүндө. Алар муну мындайча түшүндүрүшөт: эки полициячы туткунду алардын ортосундагы камерага жетелеп бара жаткандыктан, кылмышкер ал жакка барууга аргасыз болот жана анын жөн гана башка аргасы жок.
Тарыхый өзгөчөлүк маалымдамасы
Функция түшүнүгү дароо акыркы жана так болуп калган жок, ал узак жолду басып өттү. Биринчиден, Ферма 17-кылымдын аягында жарык көргөн «Тегиздик жана катуу жерлерди киргизүү жана изилдөө» китебинде төмөндөгүлөр айтылган:
Качан акыркы теңдемеде эки белгисиз болсо, орун бар.
Жалпысынан бул эмгек функционалдык көз карандылык жана анын материалдык образы (орун=сызык) жөнүндө айтылат.
Ошондой эле, болжол менен ошол эле мезгилде Рене Декарт өзүнүн «Геометрия» (1637) эмгегинде сызыктарды алардын теңдемелери боюнча изилдеген, мында дагы бир фактыэки чоңдуктун бири-бирине көз карандылыгы.
«Функция» термининин сөзүнүн өзү эле 17-кылымдын аягында Лейбницте пайда болгон, бирок анын азыркы интерпретациясында эмес. Ал өзүнүн илимий ишинде функцияны ийри сызык менен байланышкан ар кандай сегменттер деп эсептеген.
Бирок 18-кылымда функция туурараак аныктала баштаган. Бернулли төмөнкүлөрдү жазган:
Функция бул өзгөрмө жана туруктуудан турган маани.
Эйлердин ойлору да ушуга жакын болгон:
Өзгөрмө чоңдук функциясы бул өзгөрмө чоңдуктун жана сандардын же туруктуу чоңдуктардын кандайдыр бир жол менен түзүлгөн аналитикалык туюнтмасы.
Кээ бир чоңдуктар башкаларынан көз каранды болгондо, акыркысы өзгөргөндө өзү да өзгөрөт, анда биринчиси акыркысынын функциялары деп аталат.
Функция графиги
Функциянын графиги координаталык тегиздиктин огуна тиешелүү бардык чекиттерден турат, алардын абсциссалары аргументтин маанилерин алат, ал эми бул чекиттердеги функциянын маанилери ордината болуп саналат.
Функциянын масштабы анын графигине түздөн-түз байланыштуу, анткени жарактуу маанилердин диапазону менен кандайдыр бир абсциссалар алынып салынса, анда графикке бош чекиттерди тартуу же графикти белгилүү чектерде тартуу керек. Мисалы, y=tgx түрүндөгү график алынса, анда х=pi / 2 + pin, n∉R мааниси аныкталуучу аймактан чыгарылат, тангенс графи болгон учурда, сызуу керек.±pi/2 чекиттери аркылуу өткөн y огуна параллель вертикалдуу сызыктар (алар асимптоталар деп аталат).
Функцияларды кылдат жана кылдат изилдөө математиканын эсептөө деп аталган чоң тармагын түзөт. Элементардык математикада функциялар жөнүндөгү элементардык суроолор да козголот, мисалы, жөнөкөй графикти куруу жана функциянын кээ бир негизги касиеттерин орнотуу.
Кандай функцияны коюуга болот
Функция мүмкүн:
- формула бол, мисалы: y=cos x;
- формадагы жуптардын каалаган таблицасы (x; y);
- дароо графикалык көрүнүшкө ээ болуңуз, ал үчүн форманын мурунку пунктундагы жуптар (x; y) координат окторунда көрсөтүлүшү керек.
Кээ бир жогорку деңгээлдеги маселелерди чечүүдө этият болуңуз, дээрлик бардык туюнтмалар y (x) функциясынын мааниси үчүн кандайдыр бир аргументке карата функция катары каралышы мүмкүн. Мындай тапшырмаларда аныктоо доменин табуу чечимдин ачкычы болушу мүмкүн.
Кандай мүмкүнчүлүк бар?
Функцияны изилдөө же куруу үчүн биринчи билишиңиз керек болгон нерсе - бул анын масштабы. График функция болушу мүмкүн болгон чекиттерди гана камтышы керек. Аныктама домени (x) ошондой эле алгылыктуу маанилердин домени (ODZ деп кыскартылган) деп атоого болот.
Функциялардын графигин туура жана тез түзүү үчүн бул функциянын доменин билишиңиз керек, анткени графиктин көрүнүшү жана аныктыгы андан көз каранды.курулуш. Мисалы, у=√x функциясын куруу үчүн, x оң маанилерди гана кабыл ала аларын билишиңиз керек. Ошондуктан, ал биринчи координаттык квадрантта гана курулган.
Элементардык функциялардын мисалында аныктоонун көлөмү
Өзүнүн арсеналында математика аз сандагы жөнөкөй, аныкталган функцияларга ээ. Алардын чектелген чөйрөсү бар. Бул маселенин чечилиши сиздин алдыңызда комплекстүү функция бар болсо да, кыйынчылыктарды туудурбайт. Бул жөн гана бир нече жөнөкөйлөрдүн айкалышы.
- Демек, функция бөлүкчө болушу мүмкүн, мисалы: f(x)=1/x. Ошентип, өзгөрмө (биздин аргумент) бөлүүчүдө турат жана бөлчөктүн бөлүүчүсү 0гө барабар боло албастыгын баары билет, ошондуктан аргумент 0дөн башка бардык маанини ала алат. Белгилөө төмөнкүдөй болот: D(y)=x∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞). Эгерде бөлүүчүдө өзгөрмөлүү кандайдыр бир туюнтма бар болсо, анда x үчүн теңдемени чечип, бөлүүчүнү 0гө айланткан маанилерди алып салуу керек. Схематикалык көрсөтүү үчүн жакшы тандалган 5 пункт жетиштүү. Бул функциянын графиги вертикалдык асимптотасы (0; 0) чекитинен жана айкалышканда Ох жана Ой огунан өткөн гипербола болот. Эгерде графикалык сүрөт асимптоталар менен кесилишкен болсо, анда мындай ката эң одоно болуп эсептелет.
- Бирок тамырдын домени кандай? Өзгөрүлмө камтыган (f(x)=√(2x + 5)) радикалдуу туюнтмасы бар функциянын облусу да өзүнүн нюанстарына ээ (жуп даражанын тамырына гана тиешелүү). катарыарифметикалык тамыр оң туюнтма же 0гө барабар болсо, анда тамыр туюнтмасы 0дөн чоң же барабар болушу керек, биз төмөнкү теңсиздикти чечебиз: 2x + 5 ≧ 0, x ≧ -2, 5, демек, мунун облусу функция: D(y)=x ∈ (-2, 5; +∞). График биринчи координаталык квадрантта жайгашкан 90 градуска айланган параболанын бутактарынын бири.
- Эгерде биз логарифмдик функция менен алектенсек, анда логарифмдин негизине жана логарифмдин белгиси астындагы туюнтмага карата чектөө бар экенин эстен чыгарбоо керек, бул учурда аныктама областын төмөнкүдөй таба аласыз: ээрчийт. Бизде функция бар: y=loga(x + 7), биз теңсиздикти чечебиз: x + 7 > 0, x > -7. Анда бул функциянын облусу D(y)=x ∈ (-7; +∞).
- Ошондой эле y=tgx жана y=ctgx түрүндөгү тригонометриялык функцияларга көңүл буруңуз, анткени y=tgx=sinx/cos/x жана y=ctgx=cosx/sinx, ошондуктан, маанилерди алып салышыңыз керек анда бөлүүчү нөлгө барабар болушу мүмкүн. Эгер сиз тригонометриялык функциялардын графиктери менен тааныш болсоңуз, алардын доменин түшүнүү оңой иш.
Татаал функциялар менен иштөө кандайча башкача
Бир нече негизги эрежелерди унутпаңыз. Эгерде биз татаал функция менен иштеп жаткан болсок, анда бир нерсени чечүүнүн, жөнөкөйлөштүрүүнүн, бөлчөктөрдү кошуунун, эң төмөнкү жалпы бөлүүчүгө чейин азайтуунун жана тамырларды чыгаруунун кереги жок. Биз бул функцияны иликтешибиз керек, анткени ар кандай (ал тургай бирдей) операциялар функциянын масштабын өзгөртүп, туура эмес жооп бериши мүмкүн.
Мисалы, бизде татаал функция бар: y=(x2 - 4)/(x - 2). Бөлчөктүн алымын жана бөлчөгүн азайта албайбыз, анткени бул x ≠ 2 болгондо гана мүмкүн жана бул функциянын аныктагычын табуу милдети, ошондуктан биз алымга факторлорду кошпойбуз жана эч кандай теңсиздикти чечпейбиз, анткени көзгө көрүнгөн функция жок болгон маани. Бул учурда х 2 маанисин ала албайт, анткени бөлүүчү 0гө бара албагандыктан, белгилер төмөнкүдөй болот: D(y)=x ∉ (-∞; 2) ∪ (2; +∞).
Өз ара функциялар
Баштапкылар үчүн, функция көбөйтүү же азайтуу интервалында гана кайра кайтарылуучу боло аларын айта кетүү керек. Тескери функцияны табуу үчүн белгилердеги х менен уду алмаштырып, х үчүн теңдемени чечүү керек. Аныктоо домендери жана баалуулук домендери жөн эле тескери.
Кайра кайтарымдуулуктун негизги шарты – бул функциянын монотондук интервалы, эгерде функцияда өсүү жана азаюу интервалдары болсо, анда каалаган бир интервалдын (өсүүчү же азайуучу) тескери функциясын түзүүгө болот.
Мисалы, экспоненциалдык функция үчүн y=exкатар натурал логарифмдик функция y=logea=lna. Тригонометрия үчүн булар arc- префикси бар функциялар болот: y=sinx жана y=arcsinx ж.б. Графиктер кээ бир окторго же асимптоттарга карата симметриялуу жайгаштырылат.
Тыянактар
Алгылыктуу маанилердин диапазонун издөө функциялардын графигин изилдөөгө (эгерде бар болсо),теңсиздиктердин керектүү конкреттүү системасын жазуу жана чечүү.
Ошентип, бул макала функциянын чөйрөсү эмне үчүн экенин жана аны кантип табууга болорун түшүнүүгө жардам берди. Бул негизги мектеп курсун жакшы түшүнүүгө жардам берет деп ишенебиз.
