Мектептеги катуу геометрия курсунда үч мейкиндик огу боюнча нөл эмес өлчөмдөрү бар эң жөнөкөй фигуралардын бири төрт бурчтуу призма болуп саналат. Ал кандай фигура экенин, кандай элементтерден тураарын, ошондой эле анын бетинин аянтын жана көлөмүн кантип эсептей аларыңызды макалада карап көрүңүз.
Призма түшүнүгү
Геометрияда призма эки бирдей негиздер жана бул негиздердин капталдарын бириктирген каптал беттеринен түзүлгөн мейкиндик фигурасы. Кайсы бир вектор аркылуу параллелдүү которуу операциясын колдонуу менен эки негиз тең бири-бирине айланганына көңүл буруңуз. Призманын мындай дайындалышы анын бардык капталдары дайыма параллелограммдар экенине алып келет.
Негиздин тараптарынын саны үчтөн баштап каалагандай болушу мүмкүн. Бул сан чексиздикке умтулганда, призма жылмакай цилиндрге айланат, анткени анын негизи тегерек болуп, капталдагы параллелограммдарды бириктирип, цилиндрдик бетти түзөт.
Баардык көп кырдуулар сыяктуу призма төмөнкүдөй мүнөздөлөткапталдар (фигураны туташтырган тегиздиктер), четтери (каалаган эки тарабы кесилишкен сегменттер) жана чокулар (үч капталдын жолугушуу чекиттери, призма үчүн алардын экөө каптал, үчүнчүсү негиз). Фигуранын аталган үч элементинин чоңдуктары төмөнкү туюнтма аркылуу бири-бири менен байланышкан:
P=C + B - 2
Бул жерде P, C жана B тиешелүүлүгүнө жараша четтердин, капталдардын жана чокулардын саны. Бул туюнтма Эйлердин теоремасынын математикалык белгиси.
Жогорудагы сүрөттө эки призма көрсөтүлгөн. Алардын биринин (А) түбүндө туура алты бурчтук жатат, ал эми каптал капталдары негиздерине перпендикуляр. Сүрөт B дагы бир призманы көрсөтөт. Анын капталдары негиздерге перпендикуляр болбой калды, ал эми негизи кадимки беш бурчтук.
Төрт бурчтуу призма деген эмне?
Жогорудагы сүрөттөөдөн көрүнүп тургандай, призманын түрү биринчи кезекте негизди түзгөн көп бурчтуктун түрү менен аныкталат (экөө тең негиз бирдей, андыктан алардын бири жөнүндө айтсак болот). Эгерде бул көп бурчтук параллелограмм болсо, анда төрт бурчтуу призманы алабыз. Ошентип, призманын бул түрүнүн бардык тараптары параллелограммдар. Төрт бурчтуу призманын өз аты бар - параллелепипед.
Параллелепипедтин капталдарынын саны алты, ар бир тарабы ага окшош параллелге ээ. Кутучанын негизи эки каптал болгондуктан, калган төртөө каптал.
Параллелепипедтин чокуларынын саны сегиз, эгерде призманын чокулары негизги көп бурчтуктардын чокуларында гана түзүлөөрүн эстесек оңой эле байкалат (4x2=8). Эйлердин теоремасын колдонуу менен биз четтердин санын алабыз:
P=C + B - 2=6 + 8 - 2=12
12 кабыргадан 4 гана капталынан өз алдынча түзүлөт. Калган 8 фигуранын негиздеринин тегиздигинде жатат.
Мындан ары макалада төрт бурчтуу призмалар жөнүндө гана сөз кылабыз.
Параллелепипедтердин түрлөрү
Классификациянын биринчи түрү - параллелограммдын астындагы өзгөчөлүктөрү. Бул мындай көрүнүшү мүмкүн:
- кадимки, анын бурчтары 90o;
- тик бурчтук;
- квадрат – кадимки төрт бурчтук.
барабар эмес
Классификациянын экинчи түрү - капталдын негизди кесип өткөн бурчу. Бул жерде эки башка учур болушу мүмкүн:
- бул бурч түз эмес, анда призма кыйгач же кыйгач деп аталат;
- бурч 90o болсо, мындай призма тик бурчтуу же түз болот.
Классификациянын үчүнчү түрү призманын бийиктигине байланыштуу. Эгерде призма тик бурчтуу болсо, ал эми негизи квадрат же тик бурчтук болсо, анда ал куб деп аталат. Эгерде негизинде квадрат болсо, призма тик бурчтуу жана анын бийиктиги квадраттын капталынын узундугуна барабар болсо, анда биз белгилүү куб фигураны алабыз.
Призма бети жана аянты
Призманын эки негиздеринде жаткан бардык чекиттердин жыйындысы(параллелограммдар) жана анын капталдарында (төрт параллелограмм) фигуранын бетин түзөт. Бул беттин аянты базанын аянтын жана каптал бети үчүн бул маанини эсептөө менен эсептелиши мүмкүн. Ошондо алардын суммасы каалаган баасын берет. Математикалык жактан бул төмөнкүчө жазылган:
S=2So+ Sb
Бул жерде So жана Sb тиешелүүлүгүнө жараша негиздин жана каптал бетинин аянты. So алдында 2 саны пайда болот, анткени эки негиз бар.
Жазылган формула төрт бурчтуу призманын аянты үчүн эле эмес, бардык призмалар үчүн жарактуу экенин эске алыңыз.
Параллелограммдын аянты Sp формуласы менен эсептеле турганын эске сала кетели:
Sp=ah
Мында a жана h символдору тиешелүүлүгүнө жараша анын бир капталынын узундугун жана бул тарапка тартылган бийиктикти билдирет.
Тарчы бурчтуу призманын аянты
Кадимки төрт бурчтуу призмада негиз төрт бурчтуу. Аныктык үчүн анын тарабын а тамгасы менен белгилейбиз. Кадимки төрт бурчтуу призманын аянтын эсептөө үчүн анын бийиктигин билүү керек. Бул чоңдуктун аныктамасына ылайык, ал бир негизден экинчисине түшүрүлгөн перпендикулярдын узундугуна барабар, башкача айтканда, алардын ортосундагы аралыкка барабар. Аны ч тамгасы менен белгилейли. Бардык каптал беттери каралып жаткан призманын түрү үчүн негиздерине перпендикуляр болгондуктан, туура төрт бурчтуу призманын бийиктиги анын каптал кырынын узундугуна барабар болот.
БПризманын бетинин аянтынын жалпы формуласы эки терминден турат. Бул учурда базанын аянтын эсептөө оңой, ал төмөнкүгө барабар:
So=a2
Каптал бетинин аянтын эсептөө үчүн төмөнкүчө талашабыз: бул бет 4 бирдей тик бурчтуктан түзүлгөн. Анын үстүнө алардын ар биринин тараптары а жана hга барабар. Бул Sb аянты төмөнкүгө барабар экенин билдирет:
Sb=4ah
Көңүл буруңуз: 4a көбөйтүлүшү квадраттык негиздин периметри. Эгерде бул туюнтманы ыктыярдуу негиздин абалына жалпылай турган болсок, анда тик бурчтуу призма үчүн каптал бетти төмөнкүчө эсептөөгө болот:
Sb=Poh
Мында Po - базанын периметри.
Катуу төрт бурчтуу призманын аянтын эсептөө маселесине кайрылып, акыркы формуланы жаза алабыз:
S=2So+ Sb=2a2+ 4 ah=2a(a+2h)
Кийилген параллелепипедтин аянты
Аны эсептөө тик бурчтууга караганда бир аз кыйыныраак. Бул учурда төрт бурчтуу призманын базалык аянты параллелограммдагыдай эле формула менен эсептелет. Өзгөрүүлөр каптал бетинин аянтын аныктоого тиешелүү.
Бул үчүн, жогорудагы абзацта берилген формуланы периметр аркылуу колдонуңуз. Эми гана анын бир аз башкача мультипликаторлору болот. Кийик призманын шартында Sb үчүн жалпы формула:
Sb=Psrc
Бул жерде c - фигуранын каптал четинин узундугу. Psr мааниси тик бурчтуу кесимдин периметри. Бул чөйрө төмөнкүдөй курулган: алардын бардыгына перпендикуляр болуш үчүн бардык каптал беттерди тегиздик менен кесип өтүү керек. Натыйжадагы тик бурчтук каалаган кесүү болот.
Жогорудагы сүрөттө кыйгач кутучанын мисалы көрсөтүлгөн. Анын кайчылаш кесилиши капталдары менен тик бурчтарды түзөт. Бөлүмдүн периметри - Psr. Ал каптал параллелограммдардын төрт бийиктигинен түзүлгөн. Бул төрт бурчтуу призма үчүн каптал бетинин аянты жогорудагы формуланын жардамы менен эсептелет.
Кубоиддин диагоналынын узундугу
Параллелепипеддин диагоналы – бул эки чокусун бириктирүүчү, аларды түзгөн орток капталдары жок кесинди. Ар кандай төрт бурчтуу призмада төрт гана диагональ бар. Негизинде тик бурчтук бар кубиктер үчүн бардык диагоналдардын узундугу бири-бирине барабар.
Төмөнкү сүрөттө тиешелүү цифра көрсөтүлгөн. Кызыл сегмент анын диагоналы.
Пифагор теоремасын эстесеңиз, анын узундугун эсептөө абдан жөнөкөй. Ар бир студент каалаган формуланы ала алат. Анын төмөнкү формасы бар:
D=√(A2+ B2 + C2)
Бул жерде D - диагоналдын узундугу. Калган символдор кутучанын капталдарынын узундугу.
Көпчүлүк адамдар параллелепипеддин диагоналын анын капталдарынын диагоналдары менен чаташтырышат. Төмөндө түстүү болгон сүрөтсегменттер фигуранын тараптарынын диагоналдарын билдирет.
Алардын ар биринин узундугу да Пифагор теоремасы менен аныкталат жана тиешелүү каптал узундуктарынын квадраттарынын суммасынын квадрат тамырына барабар.
Призма көлөмү
Кээ бир геометриялык маселелерди чечүү үчүн кадимки төрт бурчтуу призманын же призманын башка түрлөрүнүн аянтынан тышкары, алардын көлөмүн да билүү керек. Ар кандай призманын бул мааниси төмөнкү формула менен эсептелет:
V=Soh
Эгер призма тик бурчтуу болсо, анда фигуранын көлөмүн алуу үчүн анын негизинин аянтын эсептеп, аны капталынын четинин узундугуна көбөйтүү жетиштүү.
Эгер призма нормалдуу төрт бурчтуу призма болсо, анда анын көлөмү:
V=a2с.
Эгер каптал четинин узундугу h негиздин капталына барабар болсо, бул формула кубдун көлөмүнүн туюнтмасына айланганын көрүү оңой.
Cuboid менен көйгөй
Окууланган материалды консолидациялоо үчүн төмөнкү маселени чечебиз: капталдары 3 см, 4 см жана 5 см болгон тик бурчтуу параллелепипед бар. Анын бетинин аянтын, диагоналдык узундугун жана көлөмүн эсептөө керек.
Анык болуу үчүн фигуранын негизи 3 см жана 4 см болгон тик бурчтук деп кабыл алабыз. Анда анын аянты 12 см2, ал эми чекит 14 см. Призманын бетинин аянтынын формуласын колдонуп, биз алабыз:
S=2So+ Sb=212 + 514=24 + 70=94cm2
Фигуранын диагоналынын узундугун жана көлөмүн аныктоо үчүн жогорудагы туюнтмаларды түз колдонсоңуз болот:
D=√(32+42+52)=7 071 см;
V=345=60см3.
Кийилген параллелепипеддеги көйгөй
Төмөндөгү сүрөттө кыйгач призма көрсөтүлгөн. Анын капталдары барабар: a=10 см, b=8 см, c=12 см. Бул фигуранын бетинин аянтын табышыңыз керек.
Биринчиден, базанын аянтын аныктайлы. Сүрөт курч бурч 50o экенин көрсөтүп турат. Анда анын аянты:
So=ha=sin(50o)ba
Каптал бетинин аянтын аныктоо үчүн, көлөкөлүү тик бурчтуктун периметрин табышыңыз керек. Бул тик бурчтуктун тараптары asin(45o) жана bsin(60o). Анда бул тик бурчтуктун периметри:
Psr=2(asin(45o)+bsin(60o))
Бул кутучанын жалпы аянты:
S=2So+ Sb=2(sin(50o)ba + acsin(45o) + bcsin(60o))
Маселенин шартынан алынган маалыматтарды фигуранын тараптарынын узундугуна алмаштырабыз, жооп алабыз:
S=458, 5496 см3
Бул маселенин чечилишинен тригонометриялык функциялар кыйшык фигуралардын аймактарын аныктоо үчүн колдонуларын көрүүгө болот.
