Аксиоматикалык метод - бул мурдатан калыптанып калган илимий теорияларды куруунун бир жолу. Ал далилдөөнү жана төгүндөөнү талап кылбаган аргументтерге, фактыларга, билдирүүлөргө негизделген. Чындыгында, билимдин бул версиясы дедуктивдүү структура түрүндө берилген, ал адегенде фундаменттерден – аксиомалардан мазмундун логикалык негиздерин камтыйт.
Бул ыкма ачылыш болушу мүмкүн эмес, бирок классификациялоочу түшүнүк гана. Бул окутуу үчүн көбүрөөк ылайыктуу болуп саналат. Негизде баштапкы жоболор камтылган, ал эми калган маалыматтар логикалык натыйжа катары келип чыгат. Теорияны куруунун аксиоматикалык ыкмасы кайда? Ал эң заманбап жана түптөлгөн илимдердин өзөгүн түзөт.
Аксиоматикалык метод түшүнүгүнүн калыптанышы жана өнүгүшү, сөздүн аныкталышы
Биринчиден, бул түшүнүк Евклиддин аркасында Байыркы Грецияда пайда болгон. Ал геометрияда аксиоматикалык методдун негиздөөчүсү болуп калды. Бүгүнкү күндө ал бардык илимдерде кеңири таралган, бирок баарынан да математикада. Бул ыкма белгиленген жоболордун негизинде түзүлөт, ал эми кийинки теориялар логикалык курулуш аркылуу чыгарылат.
Бул төмөнкүчө түшүндүрүлөт: деген сөздөр жана түшүнүктөр барбашка терминдер менен аныкталат. Жыйынтыгында изилдөөчүлөр негиздүү жана туруктуу болгон элементардык тыянактар бар деген тыянакка келишкен – негизги, башкача айтканда аксиомалар. Мисалы, теореманы далилдеп жатканда алар, адатта, буга чейин эле далилденген жана жокко чыгарууну талап кылбаган фактыларга таянышат.
Бирок ага чейин аларды негиздөө керек болчу. Иштин жүрүшүндө негизсиз билдирүү аксиома катары кабыл алынат экен. Туруктуу түшүнүктөрдүн жыйындысынын негизинде башка теоремалар далилденет. Алар планиметриянын негизин түзөт жана геометриянын логикалык структурасы болуп саналат. Бул илимде белгиленген аксиомалар ар кандай мүнөздөгү объекттер катары аныкталат. Алар, өз кезегинде, туруктуу түшүнүктөрдө көрсөтүлгөн касиеттерге ээ.
Аксиомаларды андан ары изилдөө
Метод он тогузунчу кылымга чейин идеалдуу деп эсептелген. Негизги түшүнүктөрдү издөөнүн логикалык каражаттары ал убакта эле изилденген эмес, бирок Евклид системасында аксиоматикалык ыкмадан маанилүү натыйжаларды алуу структурасын байкоого болот. Окумуштуунун изилдөөлөрү таза дедуктивдүү жолдун негизинде геометриялык билимдердин толук системасын кантип алуу идеясын көрсөттү. Аларга далилденгендей чындыкка дал келген, салыштырмалуу аз сандагы ырасталган аксиомалар сунушталды.
Байыркы грек акыл-эсинин эмгеги
Евклид көптөгөн түшүнүктөрдү далилдеген жана алардын айрымдары негиздүү болгон. Бирок, көпчүлүк Пифагор, Демокрит жана Гиппократтын бул эмгегин баалашат. Акыркысы геометриянын толук курсун түзгөн. Ырас, кийин Александрияда чыкты«Башталышы» жыйнагы, анын автору Евклид болгон. Андан кийин, ал "Элементардык геометрия" деп өзгөртүлгөн. Бир аз убакыт өткөндөн кийин, алар аны кандайдыр бир себептер менен сындай башташты:
- бардык баалуулуктар сызгыч жана циркуль менен гана курулган;
- геометрия менен арифметика ажыратылып, жарактуу сандар жана түшүнүктөр менен далилденген;
- аксиомаларды, алардын айрымдарын, атап айтканда, бешинчи постулатты жалпы тизмеден алып салуу сунушталды.
Натыйжада евклиддик эмес геометрия 19-кылымда пайда болгон, анда объективдүү чыныгы постулат жок. Бул аракет геометриялык системанын андан ары өнүгүшүнө түрткү берген. Ошентип, математикалык изилдөөчүлөр дедуктивдүү куруу ыкмаларына келишкен.
Математикалык билимди аксиомалардын негизинде өнүктүрүү
Геометриянын жаңы системасы өнүгө баштаганда аксиоматикалык ыкма да өзгөргөн. Математикада алар таза дедуктивдүү теория түзүүгө көбүрөөк кайрыла башташты. Натыйжада бүткүл илимдин негизги бөлүмү болгон азыркы сандык логикада далилдердин бүтүндөй системасы пайда болду. Математикалык түзүлүштө негиздөө зарылдыгын түшүнө баштады.
Ошентип, кылымдын аягында так милдеттер жана татаал түшүнүктөрдү куруу калыптанган, алар татаал теоремадан эң жөнөкөй логикалык билдирүүгө чейин кыскарган. Ошентип, евклиддик эмес геометрия аксиоматикалык методдун мындан аркы жашоосу үчүн, ошондой эле жалпы мүнөздөгү маселелерди чечүү үчүн бекем негизди стимул кылды.математикалык конструкциялар:
- ырааттуулук;
- толук;
- эгемендүүлүк.
Процесстин жүрүшүндө чечмелөө ыкмасы пайда болуп, ийгиликтүү иштелип чыкты. Бул ыкма төмөнкүчө сүрөттөлөт: теорияда ар бир чыгуу концепциясы үчүн математикалык объект коюлат, анын жыйындысы талаа деп аталат. Көрсөтүлгөн элементтер жөнүндө билдирүү жалган же чындык болушу мүмкүн. Натыйжада, корутундуга жараша билдирүүлөр аталат.
Чечмелөө теориясынын өзгөчөлүктөрү
Эреже катары, талаа жана касиеттер математикалык системада да каралат жана ал өз кезегинде аксиоматикалык болуп калышы мүмкүн. Чечмелөө салыштырмалуу ырааттуулук бар билдирүүлөрдү далилдейт. Кошумча вариант - бул теория карама-каршы келген бир катар фактылар.
Чындыгында шарт айрым учурларда аткарылат. Жыйынтыгында, эгерде айтылгандардын биринин айтымдарында эки туура эмес же туура түшүнүк бар болсо, анда ал терс же оң деп эсептелет экен. Бул ыкма Евклиддин геометриясынын ырааттуулугун далилдөө үчүн колдонулган. Чечмелөө ыкмасын колдонуу менен аксиома системаларынын көз карандысыздыгы жөнүндөгү маселени чечсе болот. Эгер кандайдыр бир теорияны жокко чыгаруу керек болсо, анда түшүнүктөрдүн бири экинчисинен алынбаганын жана жаңылыш экенин далилдеп коюу жетиштүү.
Бирок, ийгиликтүү билдирүүлөр менен бирге методдун алсыз жактары да бар. Аксиомалар системаларынын ырааттуулугу жана көз карандысыздыгы салыштырмалуу натыйжаларды алган суроолор катары чечилет. чечмелөө бир гана маанилүү жетишкендик болуп саналатырааттуулук маселеси башка бир катар илимдерге кыскартылган структура катары арифметиканын ролунун ачылышы.
Аксиоматикалык математиканын заманбап өнүгүшү
Аксиоматикалык метод Гилберттин эмгегинде өнүгө баштаган. Анын мектебинде теория жана формалдуу система деген түшүнүктүн өзү такталган. Натыйжада жалпы система пайда болуп, математикалык объектилер такталган. Мындан тышкары, негиздөө маселелерин чечүү мүмкүн болду. Ошентип, формалдуу система формулалардын жана теоремалардын чакан системаларын камтыган так класс тарабынан түзүлөт.
Бул структураны куруу үчүн техникалык ыңгайлуулукту гана жетекчиликке алуу керек, анткени аларда семантикалык жүк жок. Алар белгилер, белгилер менен жазууга болот. Башкача айтканда, системанын өзү формалдуу теория адекваттуу жана толук колдонула тургандай кылып курулган.
Натыйжада конкреттүү математикалык максат же тапшырма фактылык мазмунга же дедуктивдүү ой жүгүртүүгө негизделген теорияга куюлат. Сандык илимдин тили формалдуу системага өтөт, процессте ар кандай конкреттүү жана мазмундуу туюнтма формула менен аныкталат.
Формалдаштыруу ыкмасы
Заттын табигый абалында мындай ыкма ырааттуулук сыяктуу глобалдуу маселелерди чечүүгө, ошондой эле алынган формулалар боюнча математикалык теориялардын позитивдүү маңызын түзүүгө жөндөмдүү болот. Ал эми негизинен мунун баары далилденген билдирүүлөргө негизделген формалдуу система менен чечилет. Математикалык теориялар тынымсыз негиздемелер менен татаалдашып келген жанаГилберт бул структураны чектүү методдор менен изилдөөнү сунуш кылган. Бирок бул программа ишке ашкан жок. 20-кылымда Годелдин натыйжалары төмөнкү тыянактарга алып келди:
- табигый ырааттуулук мүмкүн эмес, анткени бул системанын формалдуу арифметика же башка ушул сыяктуу илими толук эмес болот;
- чечилбес формулалар пайда болду;
- доолорду далилдөө мүмкүн эмес.
Чыныгы чечимдер жана акылга сыярлык чектүү бүтүрүү формалдаштырылган деп эсептелет. Муну эске алуу менен, аксиоматикалык методдун бул теориянын ичинде белгилүү жана так чектери жана мүмкүнчүлүктөрү бар.
Математиктердин эмгектериндеги аксиомалардын өнүгүшүнүн натыйжалары
Кээ бир корутундулар жокко чыгарылып, туура иштелип чыкпагандыгына карабастан, туруктуу түшүнүктөрдүн ыкмасы математиканын негиздерин калыптандырууда чоң роль ойнойт. Мындан тышкары, интерпретация жана илимдеги аксиоматикалык метод көп теориядагы ырааттуулуктун, тандоолордун көз карандысыздыгынын жана гипотезалардын фундаменталдуу натыйжаларын ачып берди.
Ырайымдуулук маселесин чечүүдө эң негизгиси калыптанып калган түшүнүктөрдү гана колдонуу эмес. Алар ошондой эле идеялар, түшүнүктөр жана чектүү бүтүрүү каражаттары менен толукталышы керек. Мында ар кандай көз караштар, методдор, теориялар каралат, алар логикалык маанини жана негиздөөнү эске алуу керек.
Формалдуу системанын ырааттуулугу индукцияга, эсептөөгө, трансфиниттик санга негизделген арифметиканын окшош бүтүрүүсүн көрсөтөт. Илимий чөйрөдө аксиоматташтыруу эң маанилүү болуп саналатнегиз катары алынган талашсыз түшүнүктөрдү жана билдирүүлөрдү камтыган курал.
Баштапкы билдирүүлөрдүн маңызы жана алардын теориялардагы ролу
Аксиоматикалык ыкманы баалоо анын маңызында кандайдыр бир түзүлүш бар экенин көрсөтөт. Бул система түпкү концепцияны жана аныкталбаган негизги билдирүүлөрдү аныктоодон курулган. Оригиналдуу деп эсептелген жана далилсиз кабыл алынган теоремалар менен да ушундай болот. Табигый илимдерде мындай билдирүүлөр эрежелер, божомолдор, мыйзамдар менен бекемделет.
Андан кийин белгиленген ой жүгүртүү негиздерин бекитүү процесси жүрөт. Эреже катары, бир позициядан экинчиси чыгарылып, ал эми процессте калгандары түзүлүп, маңызы боюнча дедуктивдүү ыкма менен дал келери дароо көрсөтүлөт.
Азыркы мезгилдеги системанын өзгөчөлүктөрү
Аксиоматикалык система төмөнкүлөрдү камтыйт:
- логикалык корутундулар;
- терминдер жана аныктамалар;
- жарым-жартылай туура эмес билдирүүлөр жана түшүнүктөр.
Азыркы илимде бул ыкма абстракттуулугун жоготкон. Евклиддик геометриялык аксиоматизация интуитивдик жана чыныгы сунуштарга негизделген. Ал эми теория уникалдуу, табигый түрдө чечмеленди. Бүгүнкү күндө аксиома – бул өзүнөн-өзү ачык-айкын жобо, ал эми келишим жана ар кандай макулдашуу негиздөөнү талап кылбаган баштапкы түшүнүк катары чыга алат. Натыйжада, баштапкы баалуулуктар сыпаттоодон алыс болушу мүмкүн. Бул ыкма чыгармачылыкты, мамилелерди билүү жана негизги теорияны талап кылат.
Тыянак чыгаруунун негизги принциптери
Дедуктивдүү аксиоматикалык метод – бул белгилүү схема боюнча курулган, туура ишке ашырылган гипотезаларга негизделген, эмпирикалык фактылар жөнүндө билдирүүлөрдү чыгарган илимий билим. Мындай корутунду логикалык структуралардын негизинде, катуу туунду аркылуу курулат. Аксиомалар алгач далилдөөнү талап кылбаган, четке кагылгыс билдирүүлөр.
Чыгарууда баштапкы түшүнүккө белгилүү талаптар коюлат: ырааттуулук, толуктук, көз карандысыздык. Практика көрсөткөндөй, биринчи шарт формалдуу логикалык билимге негизделген. Башкача айтканда, теория чындык менен жалгандыктын маанилерине ээ болбошу керек, анткени ал мындан ары мааниге жана баалуулукка ээ болбойт.
Эгер бул шарт аткарылбаса, анда ал шайкеш келбейт деп эсептелет жана анда кандайдыр бир маани жоголот, анткени чындык менен жалгандын ортосундагы семантикалык жүк жоголот. Дедуктивдүү түрдө аксиоматикалык метод илимий билимди куруунун жана негиздөөнүн жолу.
Методдун практикалык колдонулушу
Илимий билимди куруунун аксиоматикалык ыкмасы практикалык жактан колдонулат. Чынында, бул жол таасир этет жана математика үчүн глобалдык мааниге ээ, бирок бул билим туу чокусуна жеткен. Аксиоматикалык ыкманын мисалдары төмөнкүдөй:
- аффиндик учактардын үч билдирүүсү жана аныктамасы бар;
- эквиваленттик теориясынын үч далили бар;
- экилик мамилелер аныктамалар, түшүнүктөр жана кошумча көнүгүүлөр системасына бөлүнөт.
Эгер сиз баштапкы маанини түзүүнү кааласаңыз, сиз көптүктөрдүн жана элементтердин табиятын билишиңиз керек. Негизинен аксиоматикалык метод илимдин түрдүү тармактарынын негизин түзгөн.
