Математикалык анализдин негизги бөлүмдөрүнүн бири интегралдык эсептөө болуп саналат. Ал объекттердин эң кеңири талаасын камтыйт, мында биринчиси аныкталбаган интеграл болот. Аны орто мектепте да жогорку математика сүрөттөгөн перспективалардын жана мүмкүнчүлүктөрдүн көбөйүп бараткан санын ачып берген ачкыч катары позициялоо керек.
Көрүнүш
Бир караганда, интеграл толугу менен заманбап, актуалдуу көрүнөт, бирок иш жүзүндө ал биздин заманга чейинки 1800-жылдары эле пайда болгон. Египет расмий түрдө мекени болуп саналат, анткени анын бар экендигинин мурда далилдери бизге жеткен эмес. Ал, маалыматтын жетишсиздигинен улам, бул убакыттын бардыгын жөн эле көрүнүш катары позициялап койгон. Ал ошол мезгилдеги элдердин арасында илимдин енугушунун децгээлин дагы бир жолу ырастады. Акыры биздин заманга чейинки 4-кылымга таандык байыркы грек математиктеринин эмгектери табылган. Алар аныкталбаган интеграл колдонулган ыкманы сүрөттөшкөн, анын маңызы ийри сызыктуу фигуранын (үч өлчөмдүү) көлөмүн же аянтын табуу болгон.жана эки өлчөмдүү тегиздиктер). Эсептөө принциби түпнуска фигураны чексиз аз компоненттерге бөлүүгө негизделген, эгерде алардын көлөмү (аянты) мурунтан эле белгилүү болсо. Убакыттын өтүшү менен, ыкма өсүп, Архимед аны параболанын аянтын табуу үчүн колдонгон. Ушундай эле эсептөөлөр ошол эле учурда Байыркы Кытайдагы илимпоздор тарабынан жүргүзүлгөн жана алар илимдеги грек кесиптештеринен толук көз карандысыз болгон.
Өнүгүү
Биздин замандын 11-кылымындагы кийинки ачылыш бул, суммаларды эсептөө үчүн интегралдын негизинде формулаларды чыгарган, белгилүү болгон нерселердин чегин сүрүп чыгарган «универсал» араб окумуштуусу Абу Али аль-Басринин эмгеги. саптардын жана биринчиден төртүнчүгө чейинки даражалардын суммасы, бул үчүн бизге белгилүү болгон математикалык индукция ыкмасын колдонуу.
Азыркы замандын акыл-эстери байыркы египеттиктердин укмуштуудай архитектуралык эстеликтерди, балким, колдорунан башка эч кандай атайын түзүлүштөрсүз жаратканына суктанышат, бирок ошол кездеги илимпоздордун акыл-эсинин күчү дагы бир керемет эмеспи? Бүгүнкү күнгө салыштырмалуу алардын жашоосу дээрлик примитивдүү көрүнөт, бирок белгисиз интегралдардын чечими бардык жерде алынган жана андан ары өнүктүрүү үчүн практикада колдонулган.
Кийинки кадам 16-кылымда, италиялык математик Кавальери Пьер Ферма тарабынан алынган бөлүнгүс элементтердин ыкмасын иштеп чыкканда болгон. Дал ушул эки инсан азыркы учурда белгилүү болгон заманбап интегралдык эсептөөнүн пайдубалын түптөгөн. Алар мурда болгон дифференциация жана интеграция түшүнүктөрүн байланыштырышканавтономдуу бирдиктер катары каралат. Жалпысынан алганда, ал кездеги математика фрагменттүү болгон, корутундулардын бөлүкчөлөрү өз алдынча, чектелген чөйрөгө ээ болгон. Биригүү жана жалпы негиздерди издөө жолу ошол кездеги жалгыз чыныгы жол болгон, анын аркасында заманбап математикалык анализ өсүп-өнүгүү мүмкүнчүлүгүнө ээ болгон.
Убакыттын өтүшү менен баары өзгөрдү, анын ичинде интегралдык белгилер да. Жалпысынан алганда, окумуштуулар аны бардык ыкмалар менен белгилешкен, мисалы, Ньютон төрт бурчтуу иконканы колдонгон, анда ал интегралдык функцияны жайгаштырган же жөн гана анын жанына койгон.
Бул карама-каршылык 17-кылымга чейин уланып, бүтүндөй математикалык анализ теориясы үчүн белги болгон окумуштуу Готфрид Лейбниц бизге абдан тааныш болгон символду киргизгенге чейин уланган. Узартылган "S" чынында латын алфавитинин ушул тамгасына негизделген, анткени ал антидеривативдердин суммасын билдирет. Интеграл өзүнүн атын 15 жылдан кийин Джейкоб Бернуллинин аркасында алган.
Формалдуу аныктама
Белгисиз интеграл түздөн-түз антитуундунун аныктамасынан көз каранды, андыктан алгач аны карап көрөлү.
Антитуунду – бул туундуга тескери функция, иш жүзүндө ал примитивдүү деп да аталат. Болбосо: d функциясынын антитуундусу бул D функциясы, анын туундусу v V'=v ге барабар. Антитуундуну издөө аныкталбаган интегралдын эсеби болуп саналат жана бул процесстин өзү интеграция деп аталат.
Мисалы:
Функция s(y)=y3, жана анын антитуундусу S(y)=(y4/4).
Каралып жаткан функциянын бардык антитуундуларынын жыйындысы аныкталбаган интеграл, ал төмөнкүчө белгиленет: ∫v(x)dx.
V(x) баштапкы функциянын айрым гана антитуундусу болгондуктан, туюнтуруу ишке ашат: ∫v(x)dx=V(x) + C, мында С туруктуу. Туунду нөлгө барабар болгондуктан, ыктыярдуу константа ар кандай туруктуу болот.
Касиеттер
Аныксыз интеграл ээ болгон касиеттер негизги аныктамага жана туундулардын касиеттерине негизделген.
Негизги ойлорду карап көрөлү:
- антидеривативдин туундусунан алынган интеграл антитуундунун өзү плюс С ∫V'(x)dx=V(x) + C;
- функциянын интегралынын туундусу баштапкы функция (∫v(x)dx)'=v(x);
- туруктуу ∫kv(x)dx=k∫v(x)dx интегралдык белгисинин астынан чыгарылат, мында k эркин;
- суммадан алынган интеграл ∫(v(y) + w(y))dy=∫v(y)dy +∫w(y)dy интегралдарынын суммасына бирдей барабар.
Акыркы эки касиеттен биз аныкталбаган интеграл сызыктуу деп жыйынтык чыгарсак болот. Мунун аркасында бизде: ∫(kv(y)dy +∫ lw(y))dy=k∫v(y)dy + l∫w(y)dy.
Консолидациялоо үчүн белгисиз интегралдарды чечүүнүн мисалдарын карап көрүңүз.
Интегралды табуу керек ∫(3sinx + 4cosx)dx:
∫(3sinx + 4cosx)dx=∫3sinxdx + ∫4cosxdx=3∫sinxdx + 4∫cosxdx=3(-cosx) + 4sinx + C=4sinx - 3cosx + C
Мисалдан жыйынтык чыгарсак болот:белгисиз интегралдарды кантип чечүүнү билбей жатасызбы? Бардык примитивдерди табыңыз! Бирок издөө принциптери төмөндө каралат.
Усулдар жана мисалдар
Интегралды чечүү үчүн төмөнкү ыкмаларды колдонсоңуз болот:
- даярдалган үстөлдү колдонуңуз;
- бөлүктөрү боюнча интеграциялоо;
- өзгөрмөлөрдү өзгөртүү менен интеграциялоо;
- дифференциалдык белгинин астына алып келүү.
Таблицалар
Эң оңой жана эң жагымдуу жол. Азыркы учурда математикалык анализ аныкталбаган интегралдардын негизги формулалары жазылган абдан кеңири таблицалар менен мактанат. Башкача айтканда, сизден мурун иштелип чыккан шаблондор бар жана сиз үчүн аларды колдонуу гана калды. Бул жерде чечими бар дээрлик бардык мисалдарды ала турган негизги таблица позицияларынын тизмеси:
- ∫0dy=C, мында C - туруктуу;
- ∫dy=y + C, мында C - туруктуу;
- ∫y dy=(yn+1) / (n + 1) + C, мында C туруктуу жана n - бир эмес сан;
- ∫(1/y)dy=ln|y| + C, мында C туруктуу;
- ∫eydy=ey + C, мында C туруктуу;
- ∫kydy=(ky/ln k) + C, мында C туруктуу;
- ∫cosydy=siny + C, мында C - туруктуу;
- ∫sinidy=-cosy + C, мында C - туруктуу;
- ∫dy/cos2y=tgy + C, мында C туруктуу;
- ∫dy/sin2y=-ctgy + C, мында C туруктуу;
- ∫dy/(1 + y2)=arctgy + C, мында C - туруктуу;
- ∫чыды=уялчаак + C, мында C -туруктуу;
- ∫shydy=chy + C, мында C - туруктуу.
Керек болсо, бир-эки кадам жасап, интегралды таблицага келтирип, жеңиштен ырахат алыңыз. Мисал: ∫cos(5x -2)dx=1/5∫cos(5x - 2)d(5x - 2)=1/5 x sin(5x - 2) + C.
Чечимге ылайык, таблицадагы мисал үчүн интегралда 5 фактору жок экени көрүнүп турат. Жалпы туюнтма өзгөрбөшү үчүн аны параллелдүү түрдө 1/5ке көбөйтүп кошуп алабыз.
Бөлүктөр боюнча интеграция
Эки функцияны карап көрөлү - z(y) жана x(y). Алар аныктоонун бүткүл доменинде үзгүлтүксүз дифференциацияланууга тийиш. Дифференциациялоо касиеттеринин бирине ылайык, бизде: d(xz)=xdz + zdx. Теңдеменин эки бөлүгүн тең интегралдасак: ∫d(xz)=∫(xdz + zdx)=> zx=∫zdx + ∫xdz.
Натыйжадагы теңдикти кайра жазып, бөлүкчөлөр боюнча интеграциялоо ыкмасын сүрөттөгөн формуланы алабыз: ∫zdx=zx - ∫xdz.
Бул эмне үчүн керек? Кеп кээ бир мисалдарды жөнөкөйлөштүрсө болот, шарттуу түрдө айтканда, ∫zdxти ∫xdz чейин кыскартуу, эгерде акыркысы таблица формасына жакын болсо. Ошондой эле, бул формуланы бир нече жолу колдонуу менен оптималдуу натыйжаларга жетишүүгө болот.
Белгисиз интегралдарды кантип чечүү керек:
эсептөө керек ∫(s + 1)e2sds
∫(x + 1)e2sds={z=s+1, dz=ds, y=1/2e2s, dy=e2xds}=((s+1)e2s) / 2-1/2∫e2s dx=((s+1)e2s) / 2-e2s/4+ C;
эсептөө керек ∫lnsds
∫lnsds={z=lns, dz=ds/s, y=s, dy=ds}=slns - ∫s x ds/s=slns - ∫ds=slns -s + C=s(lns -1) + C.
Өзгөрмө алмаштыруу
Аныксыз интегралдарды чечүүнүн бул принциби татаалыраак болгону менен мурунку эки принциптен кем эмес суроо-талапка ээ. Метод төмөнкүчө: V(x) кандайдыр бир v(x) функциясынын интегралы болсун. Мисалдагы интегралдын өзү татаал болуп келген учурда, чаташтыруу жана чечимдин туура эмес жолуна түшүү ыктымалдыгы жогору. Буга жол бербөө үчүн, х өзгөрмөсүнөн zке өтүү практикаланат, мында жалпы туюнтма визуалдык түрдө жөнөкөйлөштүрүлөт, мында zтин хдан көз карандылыгы сакталат.
Математикалык жактан мындай көрүнөт: ∫v(x)dx=∫v(y(z))y'(z)dz=V(z)=V(y-1(x)), мында x=y(z) - алмаштыруу. Жана, албетте, тескери функция z=y-1(x) өзгөрмөлөрдүн көз карандылыгын жана байланышын толук сүрөттөйт. Маанилүү эскертүү - dx дифференциалы сөзсүз түрдө жаңы дифференциал dz менен алмаштырылат, анткени өзгөрмөнүн аныкталбаган интегралда алмаштырылышы анын интегралда эле эмес, бардык жерде алмаштырылышын билдирет.
Мисалы:
табуу керек ∫(s + 1) / (s2 + 2сек - 5)ds
Алмаштырууну колдонуңуз z=(s+1)/(s2+2s-5). Анда dz=2sds=2+2(s+1)ds (s+1)ds=dz/2. Натыйжада биз төмөнкү туюнтманы алабыз, аны эсептөө оңой:
∫(s+1)/(s2+2s-5)ds=∫(dz/2)/z=1/2ln|z|+C=1/2ln|s2+2s-5|+C;
интегралды табыш керек∫2sesdx
Чечүү үчүн туюнтманы төмөнкү формада кайра жазабыз:
∫2sesds=∫(2e)sds.
a=2e менен белгилеңиз (бул кадам аргументтин ордун алмаштыруу эмес, ал дагы эле s), биз татаал көрүнгөн интегралды элементардык таблица формасына келтиребиз:
∫(2e)sds=∫asds=as / lna + C=(2e)s / ln(2e) + C=2ses / ln(2 + lne) + C=2ses / (ln2 + 1) + C.
Дифференциалдык белгинин астына алып келүү
Жалпысынан, бул белгисиз интеграл ыкмасы өзгөрмөлөрдү өзгөртүү принцибинин эгиз бир тууганы, бирок долбоорлоо процессинде айырмачылыктар бар. Келиңиз, кененирээк карап көрөлү.
Эгер ∫v(x)dx=V(x) + C жана y=z(x), анда ∫v(y)dy=V(y) + C.
Мында тривиалдуу интегралдык трансформацияларды эстен чыгарбоо керек, алардын арасында:
- dx=d(x + a), мында а ар кандай туруктуу;
- dx=(1 / a)d(ax + b), мында a кайрадан туруктуу, бирок нөлгө барабар эмес;
- xdx=1/2d(x2 + b);
- sinxdx=-d(cosx);
- cosxdx=d(sinx).
Эгерде биз аныкталбаган интегралды эсептөөдө жалпы жагдайды карасак, мисалдарды w'(x)dx=dw(x) жалпы формуласы боюнча жыйынтыктоого болот.
Мисалдар:
табуу керек ∫(2сек + 3)2ds, ds=1/2d(2s + 3)
∫(2сек + 3)2ds=1/2∫(2сек + 3)2d(2сек + 3)=(1/2) x ((2с +3)2) / 3 + C=(1/6) x (2s + 3)2 + C;
∫tgsds=∫sins/cossds=∫d(coss)/coss=-ln|coss| + C.
Онлайн жардам
Кээ бир учурларда, күнөөсү жалкоолук же шашылыш муктаждык болушу мүмкүн, сиз онлайн кеңештерди колдонсоңуз болот, тагыраак айтканда, белгисиз интегралдык калькуляторду колдонсоңуз болот. Интегралдардын бардык көрүнгөн татаалдыгына жана талаштуулугуна карабастан, аларды чечүү белгилүү бир алгоритмге баш ийет, ал "эгер болбосо …, анда …" принцибине негизделген.
Албетте, мындай калькулятор өзгөчө татаал мисалдарды өздөштүрө албайт, анткени чечимди процесске айрым элементтерди «күч менен» киргизүү менен жасалма жол менен табууга туура келген учурлар болот, анткени ачык-айкын натыйжага жетишүү мүмкүн эмес. жолдору. Бул сөздүн бардык карама-каршылыктарына карабастан, бул чындык, анткени математика, негизи, абстракттуу илим жана мүмкүнчүлүктөрдүн чектерин кеңейтүүнүн зарылдыгын өзүнүн негизги милдети катары карайт. Чынында эле, жылмакай, ишке ашкан теориялар боюнча көтөрүлүү жана өнүгүү өтө кыйын, ошондуктан биз берген белгисиз интегралдарды чечүүнүн мисалдары мүмкүнчүлүктөрдүн бийиктиги деп ойлобоңуз. Бирок иштин техникалык жагына кайтуу. Эсептөөлөрдү текшерүү үчүн, жок дегенде, бизден мурун баары жазылган кызматтарды колдоно аласыз. Эгерде татаал туюнтманы автоматтык түрдө эсептөө керек болсо, анда алардан баш тартууга болбойт, сиз олуттуураак программалык камсыздоого кайрылууга туура келет. Биринчи кезекте MatLab чөйрөсүнө көңүл буруш керек.
Колдонмо
Белгисиз интегралдардын чечими бир караганда реалдуулуктан таптакыр алыстай сезилет, анткени колдонуунун ачык аймактарын көрүү кыйын. Чынында эле, алар түздөн-түз эч жерде колдонулушу мүмкүн эмес, бирок алар практикада колдонулган чечимдерди алуу процессинде зарыл аралык элемент болуп эсептелет. Демек, интеграция дифференциацияга тескери болот, анын аркасында ал теңдемелерди чечүү процессине активдүү катышат.
Өз кезегинде бул теңдемелер механикалык маселелерди чечүүгө, траекторияларды жана жылуулук өткөрүмдүүлүктү эсептөөгө – кыскасы, азыркы учурду түзгөн жана келечекти калыптандыруучу бардык нерселерге түздөн-түз таасирин тийгизет. Биз жогоруда мисалдарды карап чыккан белгисиз интеграл бир караганда анча маанилүү эмес, анткени ал барган сайын жаңы ачылыштарды жасоого негиз болуп саналат.
