«Арифметикалык прогрессия» деген тема мектептерде 9-класста жалпы алгебра курсунда окулат. Бул тема сандар катарларынын математикасын андан ары тереңдетип үйрөнүү үчүн маанилүү. Бул макалада биз арифметикалык прогрессия, анын айырмасы, ошондой эле мектеп окуучулары туш болушу мүмкүн болгон типтүү тапшырмалар менен таанышабыз.
Алгебралык прогрессия түшүнүгү
Сандык прогрессия – кандайдыр бир математикалык мыйзам колдонулса, ар бир кийинки элемент мурункусунан алынышы мүмкүн болгон сандардын ырааттуулугу. Прогрессиянын эки жөнөкөй түрү бар: геометриялык жана арифметикалык, алар алгебралык деп да аталат. Келгиле, ага кененирээк токтололу.
Келгиле, кандайдыр бир рационалдуу санды элестетип көрөлү, аны a1 белгиси менен белгилейли, мында индекс каралып жаткан катардагы анын иреттик санын көрсөтөт. 1 санына башка санды кошолу, аны d деп белгилейли. Андан кийин экинчикатардын элементи төмөнкүдөй чагылдырылышы мүмкүн: a2=a1+d. Эми d дагы бир жолу кошсоңуз, биз: a3=a2+d. Бул математикалык операцияны улантуу менен, арифметикалык прогрессия деп аталган бүтүндөй бир катар сандарды ала аласыз.
Жогорудан түшүнүктүү болгондой, бул катардын n-элементин табуу үчүн төмөнкү формуланы колдонушуңуз керек: a =a1+ (n -1)d. Чынында эле, туюнтмага n=1ди алмаштыруу менен, биз 1=a1 алабыз, эгерде n=2 болсо, анда формула төмөнкүлөрдү билдирет: a2=a1 + 1d, жана башкалар.
Мисалы, арифметикалык прогрессиянын айырмасы 5 болсо жана a1=1 болсо, анда бул каралып жаткан типтеги сандар сериясы төмөнкүдөй экенин билдирет: 1, 6, 11, 16, 21, … Көрүнүп тургандай, анын ар бир шарты мурункусунан 5ке чоңураак.
Арифметикалык прогрессиянын айырмасынын формулалары
Сандардын каралып жаткан катарларынын жогорудагы аныктамасынан аны аныктоо үчүн эки санды билиш керек экен: a1 жана d. Акыркысы бул прогрессиянын айырмасы деп аталат. Ал бүт сериянын жүрүм-турумун өзгөчө аныктайт. Чынында эле, эгерде d оң болсо, анда сандык катар тынымсыз көбөйөт, тескерисинче, терс d учурда катардагы сандар модулдук гана көбөйөт, ал эми алардын абсолюттук мааниси n санынын өсүшү менен азаят.
Арифметикалык прогрессиянын айырмасы эмнеде? Бул маанини эсептөө үчүн колдонулган эки негизги формуланы карап көрөлү:
- d=an+1-a , бул формула каралып жаткан сандар сериясынын аныктамасынан түз келип чыгат.
- d=(-a1+a)/(n-1), бул туюнтма берилген формуладан d туюндуруу аркылуу алынган макаланын мурунку абзацында. Эгерде n=1 болсо, бул туюнтма аныкталбаган (0/0) болуп калат. Бул анын айырмасын аныктоо үчүн катардын кеминде 2 элементин билүү зарыл экендигине байланыштуу.
Бул эки негизги формула прогрессиянын айырмасын табуу боюнча ар кандай маселени чечүү үчүн колдонулат. Бирок, сиз дагы билишиңиз керек болгон дагы бир формула бар.
Биринчи элементтердин суммасы
Тарыхый далилдер боюнча алгебралык прогрессиянын каалаган санынын мүчөлөрүнүн суммасын аныктоо үчүн колдонула турган формуланы биринчи жолу 18-кылымдагы математиканын «ханзаадасы» Карл Гаусс алган. Немис окумуштуусу айылдагы мектептин башталгыч класстарында окуп жүргөн кезинде 1ден 100гө чейинки катардагы натурал сандарды кошуу үчүн адегенде биринчи элемент менен акыркыны кошуу керек экенин байкаган (жыйынтыктагы маани бирдей болот). акыркы жана экинчи, акыркы жана үчүнчү элементтердин суммасына ж.б.), андан кийин бул сан бул суммалардын санына, башкача айтканда, 50гө көбөйтүлүшү керек.
Кайсы бир мисалда айтылган натыйжаны чагылдырган формуланы ыктыярдуу учурга жалпылаштырууга болот. Ал мындай болот: S =n/2(a +a1). Белгиленген маанини табуу үчүн d айырмасын билүү талап кылынбайт,эгерде прогрессиянын эки шарты белгилүү болсо (a жана a1).
Мисал №1. a1 жана an
сериясынын эки шартын билип, айырманы аныктаңыз
Макалада жогоруда айтылган формулаларды кантип колдонууну көрсөтөлү. Жөнөкөй мисал келтирели: арифметикалык прогрессиянын айырмасы белгисиз, эгер a13=-5, 6 жана a1 болсо, ал эмнеге барабар болорун аныктоо керек. =-12, 1.
Сандык ырааттуулуктун эки элементинин маанилерин билгендиктен жана алардын бири биринчи сан болгондуктан, d айырмасын аныктоо үчүн №2 формуланы колдонсок болот. Бизде: d=(-1(-12, 1)+(-5, 6))/12=0. 54167. Туюнтмада биз n=13 маанисин колдондук, анткени бул катар номери бар мүчө белгилүү.
Натыйжадагы айырмачылык маселенин шартында берилген элементтер терс мааниге ээ болгонуна карабастан прогрессиянын өсүп жатканын көрсөтөт. Көрүнүп тургандай, a13>a1, бирок |a13|<|a 1 |.
Мисал №2. №1
мисалындагы прогрессиянын оң мүчөлөрү
Жаңы маселени чечүү үчүн мурунку мисалда алынган натыйжаны колдонолу. Ал төмөнкүдөй формулировкаланган: №1 мисалдагы прогрессиянын элементтери кайсы катар номеринен баштап оң маанилерди ала баштайт?
Көрсөтүлгөндөй, a1=-12, 1 жана d=0 болгон прогрессия. 54167 көбөйүүдө, андыктан кээ бир сандардан сандар оң гана мааниге ээ боло баштайт. баалуулуктар. Бул n санын аныктоо үчүн жөнөкөй теңсиздикти чечүү керек, башкача айткандаматематикалык түрдө төмөнкүчө жазылат: a >0 же тиешелүү формуланы колдонуп, теңсиздикти кайра жазабыз: a1 + (n-1)d>0. Белгисиз n табуу керек, аны туюндуруп көрөлү: n>-1a1/d + 1. Эми айырманын белгилүү маанилерин жана биринчи мүчөнү алмаштыруу калды ырааттуулугунун. Төмөнкүлөрдү алабыз: n>-1(-12, 1) /0, 54167 + 1=23, 338 же n>23, 338. n бүтүн сандарды гана ала алгандыктан, натыйжада пайда болгон теңсиздиктен катардын каалаган мүчөлөрү келе турганы чыгат. 23төн чоң сан оң болот.
Бул арифметикалык прогрессиянын 23 жана 24-элементтерин эсептөө үчүн жогорудагы формуланы колдонуу менен жообуңузду текшериңиз. Бизде: a23=-12, 1 + 220, 54167=-0, 18326 (терс сан); a24=-12, 1 + 230. 54167=0. 3584 (оң маани). Ошентип, алынган натыйжа туура: n=24 баштап, сандар сериясынын бардык мүчөлөрү нөлдөн чоң болот.
Мисал №3. Канча журнал туура келет?
Келгиле, бир кызык маселени берели: жыгач кесүү учурунда, төмөнкү сүрөттө көрсөтүлгөндөй, кесилген дөңгөлөктөрдү бири-биринин үстүнө тизүү чечими кабыл алынган. Жалпысынан 10 сап туура келерин билип туруп, канча журналды ушинтип тизсе болот?
Бурчактарды чогултуунун мындай ыкмасы менен сиз бир кызыктуу нерсени байкай аласыз: ар бир кийинки катар мурункусуна караганда бир азыраак журналды камтыйт, башкача айтканда, айырмасы d=1 болгон алгебралык прогрессия бар. Ар бир катардагы журналдардын саны бул прогрессиянын мүчөсү деп эсептесек,жана ошондой эле a1=1 экенин эске алсак (эң жогору жагына бир гана журнал туура келет), биз a10 санын табабыз. Бизде: a10=1 + 1(10-1)=10. Башкача айтканда, жерде жаткан 10-катарда 10 журнал болот.
Бул "пирамидалык" курулуштун жалпы суммасын Гаусс формуласы аркылуу алууга болот. Төмөнкүлөрдү алабыз: S10=10/2(10+1)=55 журнал.
