Бертрандын парадоксу – ыктымалдуулук теориясынын классикалык интерпретациясындагы маселе. Жусуп муну өзүнүн Calcul des probabilités (1889) эмгегинде эгер механизм же ыкма кокустук чоңдукту чыгарса, ыктымалдыктарды так аныктоо мүмкүн эмес экенин мисал катары киргизген.
Маселе билдирүүсү
Бертрандын парадоксу төмөнкүдөй.
Биринчи, тегерекчеге чегилген тең жактуу үч бурчтукту карап көрөлү. Бул учурда, диаметри туш келди тандалат. Анын үч бурчтуктун капталынан узун болуу ыктымалдыгы кандай?
Бертран үч аргумент келтирди, алардын баары туура көрүнөт, бирок башка жыйынтыктарды берди.
Кокустук акыркы чекит ыкмасы
Сиз тегеректеги эки жерди тандап, аларды бириктирген жаа чийишиңиз керек. Эсептөө үчүн Бертрандын ыктымалдык парадоксу каралат. Үч бурчтуктун чокусу хорданын акыркы чекиттеринин бирине дал келгидей кылып бурулганын элестетүү керек. Төлөөгө арзырлыкбашка бөлүгү эки жердин ортосундагы жаа боюнча болсо, тегерек үч бурчтуктун капталынан узунураак экенин эске алыңыз. Доанын узундугу тегеректин үчтөн бир бөлүгү, андыктан кокустук аккорддун узунураак болуу ыктымалдыгы 1/3.
Тандоо ыкмасы
Айлананын радиусун жана андагы чекитти тандоо керек. Андан кийин, диаметри перпендикуляр бул жер аркылуу аккорд куруу керек. Бертрандын ыктымалдуулук теориясынын каралып жаткан парадоксун эсептөө үчүн үч бурчтуктун каптал радиуска перпендикуляр болуп бурулганын элестетүү керек. Тандалган чекит тегеректин борборуна жакыныраак болсо, аккорд буттан узун болот. Жана бул учурда үч бурчтуктун тарабы радиусту экиге бөлөт. Демек, аккорддун жазылган фигуранын капталынан узун болуу ыктымалдыгы 1/2.
Кокус аккорддор
Орто чекит ыкмасы. Айлананын бир жерин тандап, берилген ортосу менен аккорд түзүү керек. Тандалган жер радиусу 1/2 болгон концентрдик айлананын ичинде болсо, огу чегилген үч бурчтуктун четинен узунураак. Кичинекей тегеректин аянты чоңураак сандын төрттөн бир бөлүгүн түзөт. Демек, туш келди аккорддун ыктымалдыгы чегилген үч бурчтуктун капталынан узун жана 1/4кө барабар.
Жогоруда көрсөтүлгөндөй, тандоо ыкмалары диаметри болгон белгилүү аккорддорго берген салмагы менен айырмаланат. 1-ыкмасында ар бир аккорд диаметри болобу же жокпу, так бир жол менен тандалышы мүмкүн.
2-ыкмасында ар бир түз сызыкты эки жол менен тандоого болот. Ал эми башка аккорд тандалатмүмкүнчүлүктөрдүн бири гана.
3-ыкмасында, ар бир орто чекиттин тандоосу бир параметрге ээ. Бардык диаметрлердин ортосу болгон айлананын борборунан башкасы. Бул көйгөйлөрдөн бардык суроолорго "буйрук берүү" менен, пайда болгон ыктымалдуулуктарга таасир этпестен, параметрлерди алып салуу менен кутулса болот.
Тандалган ыкмаларды төмөнкүдөй эле көрүүгө болот. Диаметри болбогон аккорд анын ортосу менен өзгөчөлөнөт. Жогоруда көрсөтүлгөн үч тандоо ыкмаларынын ар бири ортонун башка бөлүштүрүлүшүн түзөт. Ал эми 1 жана 2-варианттар эки түрдүү бирдей эмес бөлүктү камсыз кылат, ал эми 3-ыкма бирдиктүү бөлүштүрүүнү берет.
Бертран маселесин чечүүдөгү классикалык парадоксу аккорддун "кокусунан" тандалып алынган ыкмасына жараша болот. Алдын ала кокус тандоо ыкмасы көрсөтүлсө, маселенин так чечилиши болот экен. Себеби, ар бир ыкманын өзүнүн аккорд бөлүштүрүүсү бар. Бертран көрсөткөн үч өкүм тандоонун ар кандай ыкмаларына туура келет жана кошумча маалымат жок болсо, бири-бирине артыкчылык берүүгө эч кандай негиз жок. Демек, айтылган көйгөйдүн бирдиктүү чечими жок.
Жалпы жоопту уникалдуу кылуунун мисалы, аккорддун акыркы чекиттери 0 жана c ортосунда бирдей аралыкта жайгашканын көрсөтүү, мында c - тегеректин айланасы. Бул бөлүштүрүү Бертрандын биринчи аргументиндегидей жана натыйжада уникалдуу ыктымалдуулук 1/3 болот.
Бул Бертран Рассел парадоксу жана классиканын башка уникалдуулугуМүмкүнчүлүктүн интерпретациялары катуураак формулировканы актайт. Ыктымалдуулук жыштыгы жана субъективисттик Байес теориясы камтылган.
Бертрандын парадоксунун негизинде эмне жатат
1973-жылы "Жакшы коюлган маселе" деген макаласында Эдвин Жейнс өзүнүн уникалдуу чечимин сунуш кылган. Ал белгилегендей, Бертрандын парадоксу «максималдуу наадандык» принцибине негизделген. Бул көйгөй билдирүүсүндө каралбаган маалыматты колдонууга болбойт дегенди билдирет. Джейнс Бертрандын маселеси тегеректин ордун же көлөмүн аныктабай турганын белгиледи. Ошентип, ар кандай так жана объективдүү чечим көлөмүнө жана абалына "кайдыгер" болушу керек деп ырастады.
Иллюстрация үчүн
Бардык аккорддор 2 см тегерекчеге туш келди жайгаштырылды деп ойлосоңуз, эми ага алыстан саман ыргытышыңыз керек.
Андан кийин чоңураак фигурага туура келген диаметри кичине (мисалы, 1 сантиметр) менен дагы бир тегерекче алуу керек. Ошондо бул кичинекей тегерек боюнча аккорддордун бөлүштүрүлүшү максимумдагыдай болушу керек. Эгерде экинчи фигура да биринчинин ичинде жылып кетсе, анда ыктымалдуулук, негизинен, өзгөрбөшү керек. 3-ыкма үчүн төмөнкүдөй өзгөрүү болорун көрүү абдан оңой: кичинекей кызыл тегеректеги аккорддордун бөлүштүрүлүшү чоң тегеректеги бөлүштүрүүдөн сапаттык жактан айырмаланат.
1-ыкма үчүн да ушундай болот. Графикалык көрүнүштө аны көрүү кыйыныраак.
2-ыкма жалгызбул масштаб жана котормо инварианты болуп чыгат.
3-ыкма жөн эле кеңейтилүүчү окшойт.
1-ыкма да эмес.
Бирок, Джейнс бул ыкмаларды кабыл алуу же четке кагуу үчүн инварианттарды оңой колдонгон эмес. Бул анын акылга сыярлык маанидеги аспектилерине туура келе турган дагы бир сүрөттөлбөгөн ыкманын бар болушуна мүмкүнчүлүк түзөт. Джейнс инвариантты сүрөттөгөн интегралдык теңдемелерди колдонгон. Түздөн-түз ыктымалдык бөлүштүрүүнү аныктоо. Анын маселесинде интегралдык теңдемелердин чындап эле уникалдуу чечими бар жана бул так жогоруда экинчи кокустук радиус ыкмасы деп аталган.
2015-жылдагы эмгекте Алон Дри Жейнстин принциби дагы эки Бертрандын чечимдерин бере алат деп ырастайт. Автор инварианттыктын жогорудагы касиеттерин математикалык жактан ишке ашыруу уникалдуу эмес, бирок адам колдонууну чечкен негизги кокус тандоо процедурасынан көз каранды деп ишендирди. Ал үч Бертран чечиминин ар бири айлануу, масштабдоо жана котормо инварианты аркылуу алынаарын көрсөтөт. Ошол эле учурда, Жейнс принциби кайдыгерликтин өзү сыяктуу эле чечмелөөгө тийиш деген тыянак чыгаруу.
Физикалык эксперименттер
2-метод статистикалык механика жана газ структурасы сыяктуу спецификалык физиологиялык концепцияларда бар трансформация инварианттарын канааттандырган жалгыз чечим. Ошондой эле сунушталганДжейнстин кичинекей тегеректен саман ыргытуу тажрыйбасы.
Бирок, башка методдорго ылайык жооп берген башка практикалык эксперименттерди жасоого болот. Мисалы, биринчи кокустан акыркы чекит ыкмасын чечүү үчүн, сиз аймактын борборуна эсептегичти тиркөөңүз болот. Ал эми эки көз карандысыз айлануунун жыйынтыгы аккорддун акыркы жерлерин баса берсин. Үчүнчү ыкманы чечүү үчүн, мисалы, айлананы патока менен жаап, чымын конгон биринчи жерди ортоңку аккорд катары белгилесе болот. Бир нече ойчулдар ар кандай тыянактарды чыгаруу үчүн изилдөөлөрдү түзүп, натыйжаларды эмпирикалык түрдө тастыкташты.
Акыркы окуялар
2007-жылы жазган "Бертран парадоксу жана кайдыгерлик принциби" деген макаласында Николас Шакел бир кылымдан ашык убакыт өтсө да, көйгөй дагы эле чечиле элек деп ырастайт. Ал кайдыгерлик принцибин жокко чыгарат. Андан тышкары, 2013-жылы "The Bertrand Russell Paradox Revisited: Эмне үчүн бардык чечимдер практикалык эмес" деген макаласында Даррелл Р. Роботтом бардык сунушталган чечимдердин өзүнүн суроосуна эч кандай тиешеси жок экенин көрсөтүп турат. Ошентип, парадоксту чечүү мурда ойлогондон алда канча кыйын экени белгилүү болду.
Шакел ушул убакка чейин көптөгөн илимпоздор жана илимден алыс адамдар Бертрандын парадоксун чечүүгө аракет кылышканын баса белгилейт. Аны дагы эле эки башка ыкманын жардамы менен жеңүүгө болот.
Эквиваленттүү эмес маселелердин ортосундагы айырма каралып чыккан жана маселе дайыма туура деп эсептелген маселелер. Шакел өзүнүн китептеринде Луиден цитата келтиретМаринов (дифференциациялоо стратегиясынын типтүү өкүлү катары) жана Эдвин Джейнс (жакшы ойлонулган теориянын автору катары).
Бирок, Диедерик Аэртс жана Массимилиано Сассоли де Бианчи «Татаал маселени чечүү» аттуу акыркы эмгегинде Бертран парадоксун чечүү үчүн жайларды аралаш стратегиядан издөө керек деп эсептешет. Бул авторлордун айтымында, биринчи кадам рандомизацияланган объекттин мүнөзүн так көрсөтүү менен көйгөйдү чечүү болуп саналат. Жана бул жасалгандан кийин гана ар кандай көйгөйдү туура деп эсептесе болот. Джейнс ушундай ойлойт.
Ошентип, аны чечүү үчүн максималдуу сабатсыздык принциби колдонулушу мүмкүн. Бул үчүн жана маселе аккордду кантип тандоо керек экенин тактабагандыктан, принцип ар кандай мүмкүнчүлүктөрдүн деңгээлинде эмес, бир топ тереңирээкте колдонулат.
Бөлүктөрдү тандоо
Маселенин бул бөлүгү авторлор универсалдуу орточо деп атаган бардык мүмкүн болгон жолдор боюнча метаортачаны эсептөөнү талап кылат. Муну менен күрөшүү үчүн алар дискреттөө ыкмасын колдонушат. Wiener процесстеринде ыктымалдуулук мыйзамын аныктоодо эмне жасалып жатканынан шыктанган. Алардын натыйжасы Джейнстин сандык жыйынтыгына дал келет, бирок алардын так коюлган проблемасы түпнуска автордукунан айырмаланып турат.
Экономика жана коммерцияда, анын жаратуучусу Жозеф Бертрандын атынан аталган Бертран Парадоксу эки оюнчу (фирма) Нэш тең салмактуулугуна жеткен кырдаалды сүрөттөйт. Эки фирма тең маржиналдык чыгымга барабар бааны койгондо(MS).
Бертрандын парадоксу негизге негизделген. Бул Курно атаандаштыгы сыяктуу моделдерде фирмалардын санынын көбөйүшү баанын чектүү чыгымдар менен жакындашуусу менен байланыштуу экендигинде турат. Бул альтернативалуу моделдерде Бертрандын парадоксу аз сандагы фирмалардын олигополиясында, алар бааларды өздүк наркынан жогору коюу менен оң киреше табышкан.
Башталышы үчүн, эки фирма А жана В бир тектүү продуктуну сатат деп ойлойбуз, алардын ар бири өндүрүшкө жана бөлүштүрүүгө бирдей чыгымдарга ээ. Бул сатып алуучулар бир гана баанын негизинде бир продуктту тандашат деген жыйынтыкка келет. Бул суроо-талап чексиз баа ийкемдүү экенин билдирет. А да, В да башкаларга караганда жогору бааны белгилешпейт, анткени бул бүтүндөй Бертран парадоксунун кыйрашына алып келет. Рыноктун катышуучуларынын бири атаандашына баш ийет. Эгер алар бирдей бааны коюшса, компаниялар кирешени бөлүшөт.
Ал эми кандайдыр бир фирма өз баасын бир аз да түшүрсө, ал бүткүл рынокту жана кыйла жогору кирешени алат. А жана В муну билишкендиктен, өндүрүм нөлдүк экономикалык пайдага сатылмайынча, алардын ар бири атаандашын төмөндөтүүгө аракет кылышат.
Жакынкы иштер Бертрандын аралаш стратегиялык парадоксунда монополиялык сумма чексиз болгон шартта оң экономикалык пайда менен кошумча тең салмактуулук болушу мүмкүн экенин көрсөттү. Акыркы пайда үчүн, баанын атаандаштыгынын оң өсүшү аралаш тең салмактуулукта, ал тургай, жалпы жагдайда да мүмкүн эместиги көрсөтүлгөн.корреляцияланган системалар.
Чынында, Бертрандын экономикадагы парадоксу практикада сейрек кездешет, анткени реалдуу продукция дээрлик ар дайым баадан башка кандайдыр бир жол менен дифференцияланат (мисалы, этикетка үчүн ашыкча төлөө). Фирмалардын өндүрүш жана бөлүштүрүү жөндөмдүүлүгүнө чектөөлөр бар. Ушундан улам эки компаниянын чыгымдары сейрек болот.
Бертрандын жыйынтыгы парадоксалдуу, анткени фирмалардын саны бирден экиге көбөйсө, баа монополиядан атаандаштыкка түшөт жана андан кийин көбөйгөн фирмалардын саны менен бирдей деңгээлде калат. Бул анча реалдуу эмес, анткени чындыгында, рыноктук күчү бар бир нече фирмалары бар базарлар бааларды маржиналдык чыгымдан жогору коюшат. Эмпирикалык талдоо көрсөткөндөй, эки атаандашы бар көпчүлүк тармактар оң киреше алып келет.
Заманбап дүйнөдө илимпоздор атаандаштыктын Курно моделине көбүрөөк шайкеш келген парадокстун чечимдерин табууга аракет кылып жатышат. Рынокто эки фирма кемчиликсиз атаандаштык жана монополиялык деңгээлдердин ортосунда оң киреше алып жаткан жерде.
Бертрандын парадоксунун экономикага түздөн-түз тиешеси жоктугунун кээ бир себептери:
- Сыйымдуулук чектери. Кээде фирмалардын бардык суроо-талапты канааттандыруу үчүн жетиштүү мүмкүнчүлүктөрү жок. Бул ойду биринчи жолу Фрэнсис Эджворт көтөрүп, Бертранд-Эджуорт моделин пайда кылган.
- Бүтүн баалар. МКдан жогору баалар алынып салынды, анткени бир фирма экинчисин кокустук менен кыскарта алат.бир аз сумма. Эгерде баалар дискреттүү болсо (мисалы, алар бүтүн сандарды алышы керек), анда бир фирма экинчисин жок дегенде бир рублга кыскартышы керек. Бул майда валютанын наркы MC жогору экенин билдирет. Эгер башка фирма анын баасын жогору койсо, башка фирма аны төмөндөтүп, бүт рынокту басып алат, Бертрандын парадоксу дал ушунда. Бул ага эч кандай пайда алып келбейт. Бул бизнес сатуудан түшкөн кирешени 50/50 башка фирма менен бөлүшүп, таза киреше алууну каалайт.
- Товардын дифференциациясы. Эгерде ар кандай фирмалардын товарлары бири-биринен айырмаланса, анда керектөөчүлөр баасы төмөн болгон товарларга толугу менен өтө албай калышы мүмкүн.
- Динамикалык атаандаштык. Кайталануучу өз ара аракеттенүү же баалардын кайталанма атаандашуусу нарктын тең салмактуулугуна алып келиши мүмкүн.
- Көбүрөөк суммага көбүрөөк нерселер. Бул кайталанган өз ара аракеттенүүдөн келип чыгат. Эгерде бир компания өзүнүн баасын бир аз жогору койсо, ал дагы эле болжол менен бирдей сандагы сатып алууларды алат, бирок ар бир буюмдан көбүрөөк пайда алат. Демек, башка компания өзүнүн белгилөөсүн көбөйтөт ж.б. (кайталоодо гана, антпесе динамика башка тарапка кетет).
Олигополия
Эгер эки компания бааны макулдашып алса, келишимди сактоо алардын узак мөөнөттүү кызыкчылыгында болот: нарктын төмөндөшүнөн түшкөн киреше келишимди аткаруудан эки эсе азыраак жана башка фирма өз баасын кыскартканга чейин гана созулат. өз баасы.
Теорияыктымалдуулуктар (башка математика сыяктуу) чындыгында жакында эле ойлоп табылган нерсе. Ал эми өнүгүү жылмакай болгон жок. Ыктымалдуулуктун эсебин формалдаштыруунун биринчи аракеттерин Маркиз де Лаплас жасап, ал концепцияны жыйынтыкка алып келген окуялардын санынын катышы катары аныктоону сунуш кылган.
Бул, албетте, бардык мүмкүн болгон окуялардын саны чектүү болгондо гана мааниси бар. Мындан тышкары, бардык окуялардын ыктымалдуулугу бирдей.
Ошентип, ал кезде бул түшүнүктөрдүн бекем негизи жоктой сезилген. Чексиз сандагы окуяларга карата аныктаманы кеңейтүү аракети дагы чоң кыйынчылыктарга алып келди. Бертрандын парадоксу – математиктерди бүтүндөй ыктымалдуулук түшүнүгүнө этият кылган ушундай ачылыштардын бири.
