Функцияларды жана алардын графиктерин изилдөө орто мектеп программасынын алкагында өзгөчө көңүл бурулган тема. Математикалык анализдин кээ бир негиздери – дифференциация – математика боюнча сынактын профилдик деңгээлине киргизилген. Кээ бир мектеп окуучулары бул темада кыйынчылыктарга дуушар болушат, анткени алар функциянын жана туундунун графиктерин чаташтырышат, ошондой эле алгоритмдерди унутуп коюшат. Бул макалада тапшырмалардын негизги түрлөрү жана аларды чечүү жолдору каралат.
Функциянын мааниси кандай?
Математикалык функция өзгөчө теңдеме. Ал сандар ортосундагы байланышты орнотот. Функция аргументтин маанисине жараша болот.
Функциянын мааниси берилген формула боюнча эсептелет. Бул үчүн, бул формуладагы жарактуу маанилердин диапазонуна туура келген аргументти х ордуна коюп, керектүү математикалык амалдарды аткарыңыз. Эмне?
Функциянын эң кичине маанисин кантип тапса болот,график функциясын колдонуп жатасызбы?
Функциянын аргументке көз карандылыгын графикалык түрдө көрсөтүү функциянын графиги деп аталат. Ал белгилүү бир бирдик сегменти бар тегиздикте курулган, мында өзгөрмөнүн же аргументтин мааниси горизонталдык абсцисса огу боюнча, ал эми тиешелүү функциянын мааниси вертикалдык ордината огу боюнча графиги алынат.
Аргументтин мааниси канчалык чоң болсо, ал графиктин оң жагында ошончолук көп болот. Ал эми функциянын мааниси канчалык чоң болсо, чекит ошончолук жогору болот.
Бул эмне дейт? Функциянын эң кичине мааниси графикте эң төмөн жайгашкан чекит болот. Аны диаграмма сегментинде табуу үчүн сизге керек:
1) Бул сегменттин учтарын таап, белгилеңиз.
2) Бул сегменттин кайсы жери эң төмөн экенин визуалдык түрдө аныктаңыз.
3) Жооп катары анын сандык маанисин жазыңыз, аны у огуна чекит проекциялоо аркылуу аныктоого болот.
Туунду диаграммадагы экстремум пункттары. Кайдан издөө керек?
Бирок, маселелерди чыгарууда кээде график функциянын эмес, анын туундусунун берилет. Кокусунан келесоо ката кетирбөө үчүн шарттарды кылдаттык менен окуп чыкканыңыз оң, анткени бул экстремум пункттарды кайдан издөө керектигиңизге жараша болот.
Демек, туунду бул функциянын тездиктеги өсүү ылдамдыгы. Геометриялык аныктамага ылайык, туунду берилген чекитке түз тартылган тангенстин эңкейишине туура келет.
Экстремум чекиттеринде тангенс Окс огуна параллель экени белгилүү. Бул анын эңкейиши 0 экенин билдирет.
Мындан биз экстремум чекиттеринде туунду х огунда жатат же жок болот деген тыянак чыгарууга болот. Бирок, мындан тышкары, бул пункттарда, функция өзүнүн багытын өзгөртөт. Башкача айтканда, жогорулаган мезгил өткөндөн кийин, ал азая баштайт, жана туунду, тиешелүүлүгүнө жараша, оң терс өзгөрөт. Же тескерисинче.
Эгер туунду оңдон терс болуп калса, бул максималдуу чекит. Эгер терс болсо, ал оң болуп калса - минималдуу чекит.
Маанилүү: эгерде тапшырмада минималдуу же максималдуу чекитти көрсөтүү керек болсо, анда жооп катары абсцисса огу боюнча тиешелүү маанини жазышыңыз керек. Бирок функциянын маанисин табышыңыз керек болсо, анда алгач функцияга аргументтин тиешелүү маанисин алмаштырып, аны эсептеп чыгышыңыз керек.
Туундуну колдонуп экстремум чекиттерин кантип тапса болот?
Каралган мисалдар негизинен экзамендин №7 тапшырмасына тиешелүү, ал туунду же антидеривативдин графиги менен иштөөнү камтыйт. Бирок USE 12 тапшырмасы - сегменттеги функциянын эң кичине маанисин табуу (кээде эң чоңу) - эч кандай чиймелерсиз аткарылат жана математикалык анализде негизги көндүмдөрдү талап кылат.
Аны аткаруу үчүн туундунун жардамы менен экстремум чекиттерин таба билишиңиз керек. Аларды табуу алгоритми төмөнкүдөй:
- Функциянын туундусун тап.
- Аны нөлгө коюңуз.
- Теңдеменин тамырларын табыңыз.
- Алынган чекиттер экстремум же ийилүү чекиттери экенин текшериңиз.
Бул үчүн диаграмманы тартыңыз жана улантыңызпайда болгон интервалдар сегменттерге тиешелүү сандарды туундуга алмаштыруу менен туундунун белгилерин аныктайт. Эгерде теңдемени чечүүдө кош эселиктин тамырлары болсо, булар ийилүү чекиттери.
Теоремаларды колдонуу менен, кайсы чекиттер минималдуу, кайсынысы максимум экенин аныктаңыз
Туундунун жардамы менен функциянын эң кичине маанисин эсептөө
Бирок, бул аракеттердин баарын аткарып, биз x огу боюнча минималдуу жана максималдуу чекиттердин маанилерин табабыз. Бирок сегменттеги функциянын эң кичине маанисин кантип тапса болот?
Кайсы бир чекиттеги функцияга туура келген санды табуу үчүн эмне кылуу керек? Бул формулага аргументтин маанисин алмаштырышыңыз керек.
Минималдуу жана максималдуу упайлар сегменттеги функциянын эң кичине жана эң чоң маанисине туура келет. Ошентип, функциянын маанисин табуу үчүн алынган x маанилерди колдонуп функцияны эсептөө керек.
Маанилүү! Эгерде тапшырма сизден минималдуу же максималдуу чекитти көрсөтүүнү талап кылса, анда жооп катары сиз х огу боюнча тиешелүү маанини жазышыңыз керек. Бирок функциянын маанисин табышыңыз керек болсо, анда алгач функцияга аргументтин тиешелүү маанисин алмаштырып, керектүү математикалык амалдарды аткарышыңыз керек.
Эгерде бул сегментте төмөнкү көрсөткүчтөр болбосо, мен эмне кылышым керек?
Бирок экстремум чекиттери жок сегменттеги функциянын эң кичине маанисин кантип тапса болот?
Бул функциянын монотондуу түрдө төмөндөшүн же ага көбөйөрүн билдирет. Андан кийин бул сегменттин экстремалдык чекиттеринин маанисин функцияга алмаштыруу керек. Эки жол бар.
1) Эсептеп чыгуутуунду жана ал оң же терс болгон интервалдар, функция берилген сегментте азайып же көбөйүп жатабы деген жыйынтыкка келүү үчүн.
Аларга ылайык, функцияга аргументтин чоңураак же кичине маанисин коюңуз.
2) Жөн гана функциянын эки пунктун алмаштырып, натыйжада функциянын маанилерин салыштырыңыз.
Туундуну табуу милдеттүү эмес
Эреже катары, USE тапшырмаларында сиз дагы эле туундуну табышыңыз керек. Бир нече гана өзгөчөлүктөр бар.
1) Парабола.
Параболанын чокусу формула боюнча табылат.
Эгер < 0 болсо, анда параболанын бутактары ылдый карай багытталган. Ал эми анын эң жогорку чекити.
Эгер > 0 болсо, анда параболанын бутактары өйдө багытталган болсо, чоку минималдуу чекит болуп саналат.
Параболанын чокусун эсептеп, анын маанисин функцияга алмаштырып, функциянын тиешелүү маанисин эсептөө керек.
2) Функция y=tg x. Же y=ctg x.
Бул функциялар монотондуу түрдө көбөйүүдө. Демек, аргументтин мааниси канчалык чоң болсо, функциянын өзүнүн мааниси ошончолук чоң болот. Андан кийин сегменттеги функциянын эң чоң жана эң кичине маанисин кантип табууга болорун мисалдар менен карап чыгабыз.
Тапшырмалардын негизги түрлөрү
Тапшырма: функциянын эң чоң же эң кичине мааниси. Диаграммадагы мисал.
Сүрөттө f (x) функциясынын туундусунун [-6 интервалындагы графигин көрүп турасыз; 6]. сегменттин кайсы жеринде [-3; 3] f(x) эң кичине маанини алат?
Ошондуктан, башталгычтар үчүн көрсөтүлгөн сегментти тандаңыз. Анда функция бир жолу нөлдүк маанини алат жана анын белгисин өзгөртөт - бул экстремум чекити. Терс сандан туунду оң болуп калгандыктан, бул функциянын минималдуу чекити экенин билдирет. Бул чекит 2 аргументинин маанисине туура келет.
Жооп: 2.
Мисалдарды кароону улантыңыз. Тапшырма: сегменттеги функциянын эң чоң жана эң кичине маанисин табыңыз.
Функциянын эң кичине маанисин табыңыз y=(x - 8) ex-7 аралыгы [6; 8].
1. Татаал функциянын туундусун алыңыз.
y' (x)=(x - 8) ex-7 =(x - 8)' (ex-7) + (x - 8) (ex-7)'=1(ex-7) + (x - 8) (e x-7)=(1 + x - 8) (ex-7)=(x - 7) (ex-7 )
2. Натыйжадагы туундуну нөлгө теңеп, теңдемени чечиңиз.
y' (x)=0
(x - 7) (ex-7)=0
x - 7=0, же ex-7=0
x=7; ex-7 ≠ 0, тамырлар жок
3. Функцияга эң четки чекиттердин маанисин, ошондой эле теңдеменин алынган тамырларын алмаштырыңыз.
y (6)=(6 - 8) e6-7=-2e-1
y (7)=(7 - 8) e7-7=-1e0=-11=- 1
y (8)=(8 - 8) e8-7=0e1=0
Жооп: -1.
Ошентип, бул макалада адистештирилген математикадагы USE тапшырмаларын ийгиликтүү чечүү үчүн зарыл болгон сегменттеги функциянын эң кичине маанисин кантип табуу керектиги боюнча негизги теория каралган. Ошондой эле математикалык элементтеранализ экзамендин С бөлүгүндөгү тапшырмаларды чечүүдө колдонулат, бирок алар татаалдыктын башка деңгээлин көрсөтөт жана аларды чечүүнүн алгоритмдери бир материалдын алкагына батыш кыйын.
