Пифагор сан негизги элементтер менен бирге дүйнөнүн негизинде жатат деп ырастаган. Платон сан кубулуш менен ноуменди байланыштырып, таанып-билүүгө, өлчөөгө жана жыйынтык чыгарууга жардам берет деп эсептеген. Арифметика "арифмос" деген сөздөн келип чыккан - сан, математикадагы башталыштардын башталышы. Ал каалаган объектисин сүрөттөй алат - элементардык алмадан абстрактуу боштуктарга чейин.
Өнүгүү фактору катары муктаждыктар
Коомдун калыптанышынын алгачкы этаптарында адамдардын керектөөлөрү эсеп жүргүзүү зарылчылыгы менен чектелчү - бир кап эгин, эки кап эгин ж.б. Бул үчүн натурал сандар жетиштүү болгон, алардын жыйындысы бүтүн сандардын чексиз оң ырааттуулугу N.
Кийинчерээк, математиканын илим катары өнүгүшү менен Z бүтүн сандардын өзүнчө тармагына муктаждык пайда болгон - ал терс маанилерди жана нөлдү камтыйт. Анын чарбалык децгээлде пайда болушуна баштапкы эсепке кандайдыр бир жол менен оңдоо зарыл болгондугу себеп болгон.карыздар жана жоготуулар. Илимий деңгээлде терс сандар эң жөнөкөй сызыктуу теңдемелерди чечүүгө мүмкүндүк берди. Башка нерселер менен катар, шилтеме чекити пайда болгондон бери, майда-чүйдөсүнө чейин координаттар системасынын сүрөтү эми мүмкүн болуп калды.
Кийинки кадам бөлчөк сандарды киргизүү зарылчылыгы болду, анткени илим бир орунда турбагандыктан, улам көп ачылыштар өсүш үчүн жаңы импульс үчүн теориялык негизди талап кылды. Рационал сандар талаасы ушинтип пайда болгон Q.
Акыры, рационалдуулук суроо-талаптарды канааттандырбай калды, анткени бардык жаңы корутундулар негиздөөнү талап кылат. Чыныгы сандар талаасы R, Евклиддин кээ бир чоңдуктардын иррационалдыгынан улам салыштырылбастыгы жөнүндөгү эмгектери пайда болгон. Башкача айтканда, байыркы грек математиктери санды бир гана туруктуу эмес, ошондой эле салыштырылгыс чоңдуктардын катышы менен мүнөздөлүүчү абстракттуу чоңдук катары жайгаштырышкан. Чыныгы сандар пайда болгондугуна байланыштуу "пи" жана "е" "жарыкты көргөн" сыяктуу чоңдуктар ансыз заманбап математика ишке ашпай турган.
Акыркы инновация C комплекстүү саны болду. Ал бир катар суроолорго жооп берип, мурда киргизилген постулаттар төгүнгө чыгарды. Алгебранын тез өнүгүшүнө байланыштуу натыйжа алдын ала болгон - реалдуу сандарга ээ болуу, көптөгөн маселелерди чечүү мүмкүн эмес болчу. Мисалы, комплекстүү сандардын аркасында саптар жана хаос теориясы өзгөчөлөнүп, гидродинамика теңдемелери кеңейди.
Жыйын теориясы. Кантор
Бардык убакта чексиздик түшүнүгүталаш-тартыштарды жаратты, анткени аны далилдөө да, жокко чыгаруу да мүмкүн эмес. Катуу тастыкталган постулаттар менен иштеген математиканын контекстинде бул эң айкын көрүндү, айрыкча теологиялык аспект илимде дагы деле салмактуу болгондуктан.
Бирок математик Георг Кантордун эмгегинин аркасында убакыттын өтүшү менен баары өз ордуна келди. Ал чексиз сандагы чексиз көптүктөр бар экенин жана экөөнүн тең учу жок болсо да R талаасы N талаасынан чоң экенин далилдеди. 19-кылымдын орто ченинде анын идеялары нонсенс жана классикалык, бекем канондорго каршы кылмыш деп катуу аталды, бирок убакыт баарын өз ордуна койду.
Талаанын негизги касиеттери R
Чыныгы сандар аларга кирген ички топтомдор сыяктуу эле касиеттерге ээ болбостон, элементтеринин масштабынан улам башкалары да толукташат:
- Нөл бар жана R талаасына таандык. R'ден каалаган c үчүн c + 0=c.
- Нөл бар жана R талаасына таандык. c x 0=0 R'ден каалаган c үчүн.
- d ≠ 0 үчүн c: d катышы бар жана R дан бардык c, d үчүн жарактуу.
- R талаасы иреттелген, башкача айтканда, эгерде c ≦ d, d ≦ c болсо, анда R каалаган c, d үчүн c=d.
- R талаасындагы толуктоо коммутативдик, б.а. каалаган c үчүн c + d=d + c, Rдан d.
- R талаасындагы көбөйтүү коммутативдик, б.а. c x d=d x c үчүн каалаган c, d R үчүн.
- R талаасындагы кошуу ассоциативдик, б.а. (c + d) + f=c + (d + f) R'ден каалаган c, d, f үчүн.
- R талаасындагы көбөйтүү ассоциативдик, б.а. (c x d) x f=c x (d x f) каалаган c, d, f үчүн R.
- R талаасындагы ар бир сандын карама-каршылыгы бар, мисалы c + (-c)=0, мында c, -c Rден болот.
- R талаасындагы ар бир сан үчүн анын тескериси бар, мында c x c-1 =1, мында c, c-1 R. тартып
- Бирдик бар жана Rга таандык, андыктан c x 1=c, Rдан каалаган c үчүн.
- Бөлүштүрүү мыйзамы жарактуу, ошондуктан c x (d + f)=c x d + c x f, каалаган c, d, f үчүн R.
- R талаасында нөл бирге барабар эмес.
- R талаасы өтмө: эгерде c ≦ d, d ≦ f болсо, анда R'ден каалаган c, d, f үчүн c ≦ f.
- R талаасында тартип жана толуктоо өз ара байланышта: эгерде c ≦ d болсо, анда c + f ≦ d + f үчүн R каалаган c, d, f үчүн.
- R талаасында тартип жана көбөйтүү өз ара байланышта: эгерде 0 ≦ c, 0 ≦ d болсо, анда 0 ≦ c x d ар кандай c, d үчүн R.
- Терс да, оң да реалдуу сандар үзгүлтүксүз, башкача айтканда, Rден келген c, d үчүн, Rдан c ≦ f ≦ d болгон f бар.
Модуль R талаасында
Чыныгы сандар модулду камтыйт.
|f| катары белгиленет R. |f|ден каалаган f үчүн=f эгерде 0 ≦ f жана |f|=-f эгерде 0 > f. Эгер модулду геометриялык чоңдук катары карасак, анда ал басып өткөн жол - нөлдөн минуска "өттүңбү" же плюска карай алдыга өткөнүңүз маанилүү эмес.
Татаал жана реалдуу сандар. Кандай окшоштуктар жана кандай айырмачылыктар бар?
Жалпысынан алганда, татаал жана реалдуу сандар бир жана бирдей, муну эске албагандаойдон чыгарылган i бирдиги, анын квадраты -1. R жана C талааларынын элементтери төмөнкү формула менен көрсөтүлүшү мүмкүн:
c=d + f x i, мында d, f R талаасына таандык жана i элестүү бирдик
Бул учурда Rдан c алуу үчүн, f жөн эле нөлгө барабар коюлат, башкача айтканда, сандын чыныгы бөлүгү гана калат. Татаал сандар талаасы чыныгы сандардын талаасы сыяктуу эле касиеттердин жыйындысына ээ болгондугуна байланыштуу, f x i=0, эгерде f=0.
Практикалык айырмачылыктарга келсек, мисалы, R талаасында дискриминант терс болсо квадраттык теңдеме чечилбейт, ал эми С талаасы i элестүү бирдиктин киргизилишине байланыштуу мындай чектөө киргизбейт.
Натыйжалар
Математика негизделген аксиомалардын жана постулаттардын "кирпичтери" өзгөрбөйт. Маалыматтын көбөйүшүнө жана жаңы теориялардын киргизилишине байланыштуу алардын айрымдарына кийинки «кирпичтер» коюлуп, келечекте кийинки кадамга негиз боло алат. Мисалы, натурал сандар R чыныгы талаасынын чакан бөлүгү болгонуна карабастан, актуалдуулугун жоготпойт. Бүт элементардык арифметика дал ошолорго негизделет, анын негизинде адамдын дүйнө таанымы башталат.
Практикалык көз караштан алганда, чыныгы сандар түз сызык сыяктуу көрүнөт. Ал боюнча сиз багытты тандап, келип чыгышын жана кадамын белгилей аласыз. Түз сызык чексиз сандагы чекиттерден турат, алардын ар бири рационалдуу же туура эмес экендигине карабастан, бир реалдуу санга туура келет. Сүрөттөөдөн көрүнүп тургандай, сөз жалпы математика да, жалпы эле математикалык анализ да курулган концепция жөнүндө болуп жатат.өзгөчө.
