Бир калыптагы тартылуу талаасында созулгус салмаксыз жипке (анын массасы дененин салмагына салыштырмалуу анча деле чоң эмес) илинген материалдык чекиттен (денеден) турган механикалык система математикалык маятник деп аталат (башка аты осциллятор). Бул аппараттын башка түрлөрү бар. Жиптин ордуна салмаксыз таякчаны колдонсо болот. Математикалык маятник көптөгөн кызыктуу кубулуштардын маңызын ачык ачып бере алат. Термелүүнүн кичинекей амплитудасы менен анын кыймылы гармоникалык деп аталат.
Механикалык системага сереп салуу
Бул маятниктин термелүү мезгилинин формуласын голландиялык окумуштуу Гюйгенс (1629-1695) чыгарган. И. Ньютондун бул замандашы бул механикалык системаны абдан жакшы көргөн. 1656-жылы биринчи маятник саатын жараткан. Алар убакытты өзгөчө өлчөгөношол убактагы тактык үчүн. Бул ойлоп табуу физикалык эксперименттердин жана практикалык иш-чаралардын өнүгүшүндөгү негизги этап болуп калды.
Эгер маятник тең салмактуулукта болсо (вертикалдуу илинген), анда тартылуу күчү жиптин тартылуу күчү менен тең салмакта болот. Узылбас жиптеги жалпак маятник - бул туташуусу бар эки эркиндик даражасы бар система. Бир гана компонентти алмаштырганда, анын бардык бөлүктөрүнүн мүнөздөмөлөрү өзгөрөт. Демек, жип таяк менен алмаштырылса, анда бул механикалык система 1 гана эркиндик даражасына ээ болот. Математикалык маятник кандай касиеттерге ээ? Бул эң жөнөкөй системада мезгил-мезгили менен баш аламандыктын таасири астында башаламандык пайда болот. Асма чекити кыймылдабай, термелүү болгон учурда маятник жаңы тең салмактуулук абалына ээ болот. Тез өйдө-ылдый термелүүлөр менен бул механикалык система стабилдүү тескери абалга ээ болот. Анын да өзүнүн аты бар. Ал Капица маятниги деп аталат.
Маятник касиеттери
Математикалык маятник абдан кызыктуу касиеттерге ээ. Алардын баары белгилүү физикалык мыйзамдар менен тастыкталган. Ар кандай башка маятниктин термелүү мезгили ар кандай жагдайлардан көз каранды, мисалы, дененин өлчөмү жана формасы, асма чекит менен оордук борборунун ортосундагы аралык, бул чекитке салыштырмалуу массанын бөлүштүрүлүшү. Мына ошондуктан асылып турган дененин мөөнөтүн аныктоо өтө татаал иш. Математикалык маятниктин мезгилин эсептөө алда канча жеңил, анын формуласы төмөндө келтирилет. Ушундай эле байкоолордун натыйжасындамеханикалык системалар төмөнкү үлгүлөрдү түзө алат:
• Эгерде маятниктин бирдей узундугун сактап, ар кандай салмактарды илип койсок, анда алардын термелүү мезгили бирдей болот, бирок алардын массалары абдан ар түрдүү болот. Демек, мындай маятниктин мезгили жүктүн массасына көз каранды эмес.
• Системаны ишке киргизгенде, маятник өтө чоң эмес, ар кандай бурчтар менен бурулса, ал ошол эле мезгилде, бирок ар кандай амплитудалар менен термелип баштайт. Тең салмактуулуктун борборунан четтөөлөр өтө чоң болбогондо, алардын түрүндөгү термелүүлөр гармониялыктарга бир топ жакын болот. Мындай маятниктин периоду эч кандай түрдө термелүү амплитудасына көз каранды эмес. Бул механикалык системанын мындай касиети изохронизм деп аталат (грек тилинен которгондо "chronos" - убакыт, "isos" - барабар).
Математикалык маятниктин периоду
Бул көрсөткүч табигый термелүүлөрдүн мезгилин билдирет. Татаал формулировкага карабастан, процесстин өзү абдан жөнөкөй. Эгерде математикалык маятниктин жипинин узундугу L, ал эми эркин түшүү ылдамдыгы g болсо, анда бул чоңдук:
T=2π√L/g
Кичинекей табигый термелүүлөрдүн мезгили эч кандай түрдө маятниктин массасына жана термелүүлөрдүн амплитудасына көз каранды эмес. Бул учурда маятник кыскартылган узундуктагы математикалык маятник сыяктуу кыймылдайт.
Математикалык маятниктин селкинчектери
Математикалык маятник термелет, аны жөнөкөй дифференциалдык теңдеме менен сүрөттөөгө болот:
x + ω2 sin x=0, мында x (t) белгисиз функция (бул төмөнкүдөн четтөө бурчуt убакыттагы тең салмактуулук абалы, радиан менен туюнтулган); ω – оң константа, ал маятниктин параметрлеринен аныкталат (ω=√g/L, мында g – эркин түшүү ылдамдыгы жана L – математикалык маятниктин узундугу (суспензия).
Тең салмактуулук абалына жакын жердеги кичине термелүүлөрдүн теңдемеси (гармоникалык теңдеме) мындай көрүнөт:
x + ω2 sin x=0
Маятниктин термелүү кыймылдары
Математикалык маятник синусоид боюнча кичинекей термелүүлөрдү кыймылдатат. Экинчи даражадагы дифференциалдык теңдеме мындай кыймылдын бардык талаптарына жана параметрлерине жооп берет. Траекторияны аныктоо үчүн ылдамдыкты жана координатты көрсөтүү керек, андан кийин көз карандысыз константалар аныкталат:
x=Күнөө (θ0 + ωt), бул жерде θ0 - баштапкы фаза, A - термелүү амплитудасы, ω - кыймылдын теңдемесинен аныкталган циклдик жыштык.
Математикалык маятник (чоң амплитудалар үчүн формулалар)
Термелүүлөрүн олуттуу амплитудада жасаган бул механикалык система кыймылдын татаалыраак мыйзамдарына баш ийет. Мындай маятник үчүн алар төмөнкү формула менен эсептелет:
sin x/2=usn(ωt/u), мында sn - Якоби синусу, ал u үчүн < 1 мезгилдик функция, ал эми кичинекей u үчүн жөнөкөй тригонометриялык синус менен дал келет. u мааниси төмөнкү туюнтма менен аныкталат:
u=(ε + ω2)/2ω2, мында ε=E/mL2 (mL2 – маятниктин энергиясы).
Сызыктуу эмес маятниктин термелүү мезгилин аныктооформула боюнча жүзөгө ашырылат:
T=2π/Ω, мында Ω=π/2ω/2K(u), K - эллиптикалык интеграл, π - 3, 14.
Маятниктин бөлүү боюнча кыймылы
Сепаратриса – эки өлчөмдүү фазалык мейкиндиги бар динамикалык системанын траекториясы. Математикалык маятник аны бойлото мезгилдүү эмес кыймылдайт. Убакыттын чексиз алыстык көз ирмеминде ал эң жогорку абалдан нөл ылдамдык менен капталга түшөт, анан акырындык менен аны көтөрөт. Ал акыры токтоп, баштапкы абалына кайтып келет.
Эгер маятниктин термелүүлөрүнүн амплитудасы π санына жакындаса, бул фаза тегиздигиндеги кыймыл бөлүүчүлүккө жакындап баратканын көрсөтөт. Мында кичинекей кыймылдаткыч мезгилдик күчтүн таасири астында механикалык система башаламан кыймыл-аракетти көрсөтөт.
Математикалык маятник белгилүү φ бурч менен тең салмактуулук абалынан четтегенде Fτ=–mg sin φ тартуунун тангенциалдык күчү пайда болот. Минус белгиси бул тангенциалдык компонент маятниктин бурулуусуна карама-каршы багытта багытталганын билдирет. Радиусу L болгон тегерек доосу боюнча маятниктин жылышын х менен белгилегенде анын бурчтук жылышы φ=х/Lге барабар. Ылдамдануу векторунун жана күчтүн проекциялары үчүн иштелип чыккан Исаак Ньютондун экинчи мыйзамы каалаган маанини берет:
mg τ=Fτ=–mg sin x/L
Ушул катышка таянсак, бул маятник сызыктуу эмес система экени көрүнүп турат, анткени артка кайтууну көздөгөн күчал тең салмактуулук абалына, дайыма x жылышына эмес, x/L үчүн пропорционал.
Математикалык маятник кичинекей термелүүлөр жасаганда гана, ал гармоникалык осциллятор болуп саналат. Башкача айтканда, гармониялык термелүүнү аткарууга жөндөмдүү механикалык системага айланат. Бул жакындоо иш жүзүндө 15–20° бурчтар үчүн жарактуу. Амплитудалары чоң болгон маятниктин термелүүсү гармоникалык эмес.
Маятниктин кичине термелүүлөрү үчүн Ньютон мыйзамы
Эгер бул механикалык система кичине термелүүлөрдү аткарса, Ньютондун 2-закону мындай болот:
mg τ=Fτ=–m g/L x.
Мунун негизинде математикалык маятниктин тангенциалдык ылдамдануусу анын минус белгиси менен жылышына пропорционал деген тыянак чыгарууга болот. Бул система гармоникалык осцилляторго айланган шарт. Жылдыруу менен ылдамдануунун ортосундагы пропорционалдык пайданын модулу тегерек жыштыктын квадратына барабар:
ω02=г/л; ω0=√ г/л.
Бул формула маятниктин бул түрүнүн кичинекей термелүүлөрдүн табигый жыштыгын чагылдырат. Мунун негизинде, T=2π/ ω0=2π√ г/л.
Энергиянын сакталуу мыйзамына негизделген эсептөөлөр
Маятниктин термелүү кыймылдарынын касиеттерин энергиянын сакталуу мыйзамы аркылуу да сүрөттөөгө болот. Бул учурда гравитациялык талаада маятниктин потенциалдык энергиясы:
экенин эске алуу керек.
E=mg∆h=mgL(1 – cos α)=mgL2sin2 α/2
Жалпы механикалык энергиякинетикалык же максималдуу потенциалга барабар: Epmax=Ekmsx=E
Энергиянын сакталуу мыйзамы жазылгандан кийин теңдеменин оң жана сол тарабынын туундусун алгыла:
Ep + Ek=const
Туруктуу маанилердин туундусу 0 болгондуктан, анда (Ep + Ek)'=0. Туундунун туундусу туундулардын суммасына барабар:
Ep'=(mg/Lx2/2)'=mg/2L2xx'=mg/Lv + Ek'=(mv2/2)=m/2(v2)'=m/22vv'=mv α, демек:
Mg/Lxv + mva=v (mg/Lx + m α)=0.
Акыркы формуланын негизинде биз табабыз: α=- g/Lx.
Математикалык маятниктин практикалык колдонулушу
Эркин түшүүнүн ылдамдашы географиялык кеңдикке жараша өзгөрөт, анткени жер кыртышынын тыгыздыгы бүт планетада бирдей эмес. Жыштыгы жогору тоо тектери пайда болгон жерде, ал бир аз жогору болот. Математикалык маятниктин ылдамдануусу көбүнчө геологиялык чалгындоо үчүн колдонулат. Бул ар кандай пайдалуу кендерди издөө үчүн колдонулат. Жөн гана маятниктин селкинчек санын эсептөө менен, сиз Жердин түбүндө көмүр же руда таба аласыз. Мунун себеби, мындай фоссилдердин тыгыздыгы жана массасы алардын астындагы борпоң тектерге караганда чоңураак.
Математикалык маятникти Сократ, Аристотель, Платон, Плутарх, Архимед сыяктуу көрүнүктүү окумуштуулар колдонгон. Алардын көбү бул механикалык система адамдын тагдырына жана жашоосуна таасир этиши мүмкүн деп эсептешкен. Архимед өзүнүн эсептөөлөрүндө математикалык маятникти колдонгон. Азыркы учурда көптөгөн оккультисттер жана экстрасенстералардын пайгамбарлыктарын аткаруу же дайынсыз жоголгон адамдарды издөө үчүн бул механикалык системаны колдонуңуз.
Белгилүү француз астроному жана натуралист К. Фламмарион да изилдөө үчүн математикалык маятник колдонгон. Ал өзүнүн жардамы менен жаңы планетанын ачылышын, Тунгуска метеоритинин пайда болушун жана башка маанилүү окуяларды алдын ала айта алганын ырастады. Экинчи дүйнөлүк согуш учурунда Германияда (Берлин) адистештирилген Маятник институту иштеген. Бүгүнкү күндө Мюнхен Парапсихология институту ушундай изилдөөлөр менен алектенет. Бул мекеменин кызматкерлери маятник менен иштөөнү “радиестезия” деп аташат.
