1900-жылы өткөн кылымдын эң улуу окумуштууларынын бири Дэвид Гильберт математика боюнча чечилбеген 23 маселенин тизмесин түзгөн. Алар боюнча иш адам билиминин бул тармагын өнүктүрүүгө зор таасирин тийгизген. 100 жылдан кийин Клей математикалык институту миң жылдыктын маселелери деп аталган 7 маселенин тизмесин сунуштады. Алардын ар бирине 1 миллион доллардан сыйлык сунушталды.
Окумуштууларды бир кылымдан ашык убакыттан бери ойлонтуп келе жаткан табышмактардын эки тизмесинде тең пайда болгон жалгыз маселе Риман гипотезасы болгон. Ал дагы эле өз чечимин күтүп жатат.
Кыскача өмүр баяны
Георг Фридрих Бернхард Риман 1826-жылы Ганноверде кедей пастордун чоң үй-бүлөсүндө туулган жана болгону 39 жыл жашаган. 10 эмгегин басып чыгарууга жетишкен. Бирок, буга чейин анын тирүү кезинде, Риманн анын мугалими Иоганн Гаусс мураскери болуп эсептелген. Жаш окумуштуу 25 жашында «Комплекстүү өзгөрмөлүү функциялар теориясынын негиздери» деген кандидаттык диссертациясын жактаган. Кийинчерээк ал формулировкаладыанын атактуу гипотезасы.
Негизги сандар
Математика адам санаганды үйрөнгөндө пайда болгон. Ошол эле учурда сандар жөнүндө алгачкы идеялар пайда болуп, кийинчерээк аларды классификациялоого аракет кылышкан. Алардын айрымдарынын жалпы касиеттери бар экени байкалган. Атап айтканда, натурал сандардын, б.а. объекттердин санын эсептөөдө (номерлөөдө) же белгилөөдө колдонулгандардын ичинен бир жана өзүнө гана бөлүнүүчү топ айырмаланган. Алар жөнөкөй деп аталат. Мындай сандардын жыйындысынын чексиздик теоремасынын көрктүү далилин Евклид өзүнүн Элементтеринде келтирген. Учурда аларды издөө иштери уланууда. Атап айтканда, буга чейин белгилүү болгон эң чоң сан 274 207 281 – 1.
Эйлер формуласы
Жайы сандар көптүгүнүн чексиздиги түшүнүгү менен бирге Евклид бирден-бир мүмкүн болгон жөнөкөй факторлорго ажыратуу жөнүндөгү экинчи теореманы да аныктаган. Ага ылайык, ар кандай оң бүтүн сан жөнөкөй сандардын бир гана жыйындысынын көбөйтүндүсү болуп саналат. 1737-жылы улуу немис математиги Леонхард Эйлер Евклиддин биринчи чексиздик теоремасын төмөндөгү формула катары билдирген.
Ал zeta функциясы деп аталат, мында s туруктуу жана p бардык негизги маанилерди алат. Евклиддин экспансиянын уникалдуулугу жөнүндөгү билдирүүсү андан түздөн-түз келип чыккан.
Riemann Zeta функциясы
Эйлердин формуласы, жакшыраак карап чыгуу, толугу менентаң калыштуу, анткени ал жөнөкөй жана бүтүн сандардын ортосундагы байланышты аныктайт. Анткени, анын сол тарабында жөнөкөй сандарга гана көз каранды болгон чексиз көп туюнтмалар көбөйтүлөт, ал эми оң жагында бардык оң бүтүн сандар менен байланышкан сумма жайгашкан.
Риман Эйлерден алда канча алдыга кетти. Сандарды бөлүштүрүү маселесинин ачкычын табуу үчүн ал чыныгы жана татаал өзгөрмөлөр үчүн формуланы аныктоону сунуш кылган. Кийинчерээк ал Риман zeta функциясынын атын алган. 1859-жылы окумуштуу «Берилген мааниден ашпаган жай сандардын саны жөнүндө» деген макаласын жарыялап, анда өзүнүн бардык идеяларын кыскача баяндаган.
Риманн бардык реалдуу s>1 үчүн бириге турган Эйлер сериясын колдонууну сунуштады. Эгерде ошол эле формула комплекстүү s үчүн колдонулса, анда катар 1ден чоң реалдуу бөлүгү менен бул өзгөрмөнүн каалаган мааниси үчүн жакындайт. Риман zeta(лар)дын аныктамасын бардык комплекстүү сандарга жайылтуу менен аналитикалык улантуу процедурасын колдонгон, бирок агрегатты «ыргытып жиберди». Ал алынып салынды, анткени s=1 болгондо zeta функциясы чексиздикке чейин жогорулайт.
Практикалык маани
Логикалык суроо туулат: Римандын нөлдүк гипотеза боюнча ишинде негизги болгон zeta функциясы эмне үчүн кызыктуу жана маанилүү? Белгилүү болгондой, учурда жөнөкөй сандардын натурал сандар арасында бөлүштүрүлүшүн сүрөттөй турган жөнөкөй үлгү аныкталган эмес. Риман х ашпаган жайлардын pi(x) саны зета функциясынын тривиалдык эмес нөлдөрдүн бөлүштүрүлүшү менен туюнталарын ача алган. Мындан тышкары, Риман гипотезасы болуп саналаткээ бир криптографиялык алгоритмдердин иштеши үчүн убакытты баалоону далилдөө үчүн зарыл шарт.
Риман гипотезасы
Бул математикалык маселенин ушул күнгө чейин далилденбеген алгачкы формулировкаларынын бири мындай угулат: тривиалдуу эмес 0 zeta функциялары – ½ ге барабар реалдуу бөлүгү бар комплекстүү сандар. Башкача айтканда, алар Re s=½ сызыгында жайгашкан.
Жалпыланган Риман гипотезасы да бар, ал ошол эле билдирүү, бирок zeta функцияларын жалпылоо үчүн, алар көбүнчө Дирихле L-функциялары деп аталат (төмөндөгү сүрөттү караңыз).
Формулада χ(n) - кээ бир сандык белги (модуль к).
Римандын билдирүүсү нөлдүк гипотеза деп аталат, анткени ал учурдагы үлгү маалыматтарына шайкештиги текшерилген.
Риман айткандай
Немец математикинин эскертүүсү башында жөн эле айтылган. Чындыгында, ал кезде окумуштуу жай сандардын бөлүштүрүлүшү жөнүндөгү теореманы далилдемекчи болгон жана бул контекстте бул гипотеза өзгөчө мааниге ээ болгон эмес. Бирок башка кептеген маселелерди чечууде анын ролу эбегейсиз зор. Ошондуктан Римандын божомолу азыр көптөгөн илимпоздор тарабынан далилденбеген математикалык маселелердин эң маанилүүсү катары таанылат.
Айтылгандай, бөлүштүрүү теоремасын далилдөө үчүн толук Риман гипотезасы талап кылынбайт жана zeta функциясынын ар кандай тривиалдык эмес нөлүнүн реалдуу бөлүгүн логикалык жактан негиздөө жетиштүү0 менен 1дин ортосунда. Бул касиеттен жогорудагы так формулада пайда болгон zeta функциясынын бардык 0-лорунун суммасы чектүү константа экени келип чыгат. x чоң маанилери үчүн, ал толугу менен жоголуп кетиши мүмкүн. Формуланын өтө чоң х үчүн да өзгөрүүсүз калган жалгыз мүчөсү бул х өзү. Калган татаал терминдер ага салыштырмалуу асимптотикалык түрдө жок болот. Ошентип, салмактанып алынган сумма х ге умтулат. Бул жагдайды жай сандарды бөлүштүрүү боюнча теореманын чындыгын тастыктоо катары кароого болот. Ошентип, Риман зета функциясынын нөлдөрү өзгөчө роль ойнойт. Ал мындай баалуулуктар ажыратуу формуласына олуттуу салым кошо албасын далилдөөдөн турат.
Римандын жолдоочулары
Кургак учуктан болгон трагедиялуу өлүм бул окумуштууга өзүнүн программасын логикалык аягына чыгарууга мүмкүндүк берген жок. Бирок, анын ордуна Ш-Ж. де ла Валле Пуссен жана Жак Хадамард. Бири-биринен көз карандысыз, алар жай сандарды бөлүштүрүү боюнча теореманы чыгарышкан. Хадамард менен Пуссин бардык тривиалдуу эмес 0 zeta функциялары критикалык тилкеде экенин далилдей алышты.
Бул окумуштуулардын эмгегинин аркасында математикада жаңы багыт – сандардын аналитикалык теориясы пайда болду. Кийинчерээк Риман иштеп жаткан теореманын дагы бир нече примитивдүү далилдери башка изилдөөчүлөр тарабынан алынган. Атап айтканда, Пал Эрдос жана Атле Селберг аны тастыктаган өтө татаал логикалык чынжырды табышкан, ал комплекстүү анализди колдонууну талап кылбаган. Бирок, бул учурда, бир нече маанилүүтеоремалар, анын ичинде көптөгөн сандар теориясы функцияларынын жакындоолор. Бул жагынан алганда, Эрдос менен Атле Сельбергдин жаңы иштери иш жүзүндө эч нерсеге таасирин тийгизген жок.
Маселенин эң жөнөкөй жана эң сонун далилдеринин бири 1980-жылы Дональд Ньюман тарабынан табылган. Ал белгилүү Коши теоремасына негизделген.
Риман гипотезасы заманбап криптографиянын пайдубалына коркунуч келтиреби
Маалыматтарды шифрлөө иероглифтердин пайда болушу менен бирге пайда болгон, тагыраагы, алардын өздөрүн биринчи коддор деп эсептесе болот. Учурда санариптик криптографиянын бүтүндөй чөйрөсү бар, ал шифрлөө алгоритмдерин иштеп чыгууда.
Негизги жана "жарым жөнөкөй" сандар, б.а. бир класстагы 2 башка сандарга гана бөлүнүүчү сандар, RSA деп аталган ачык ачкыч системасынын негизин түзөт. Бул эң кеңири колдонууга ээ. Тактап айтканда, ал электрондук кол тамганы түзүүдө колдонулат. Муляждар үчүн жеткиликтүү терминдер менен айтканда, Риман гипотезасы жай сандарды бөлүштүрүүдө системанын бар экенин ырастайт. Ошентип, электрондук коммерция тармагындагы онлайн транзакциялардын коопсуздугу көз каранды болгон криптографиялык ачкычтардын күчү кыйла төмөндөйт.
Башка чечилбеген математикалык маселелер
Миң жылдыктын башка максаттарына бир нече сөз арнап, макаланы бүтүрүүгө арзырлык. Аларга төмөнкүлөр кирет:
- P жана NP класстарынын теңдиги. Маселе төмөнкүчө формулировкаланган: эгерде белгилүү бир суроого оң жооп полиномдук убакытта текшерилсе, анда бул суроонун жообу чынбы?тез тапса болобу?
- Ходждун божомолу. Жөнөкөй сөз менен айтканда, аны төмөнкүчө формулировкалоого болот: проекциялык алгебралык сорттордун (мейкиндиктердин) кээ бир түрлөрү үчүн Ходж циклдери геометриялык интерпретацияга ээ болгон объекттердин айкалышы, б.а., алгебралык циклдер.
- Пуанкаренин божомолу. Бул азырынча далилденген жалгыз Миң жылдык чакырык. Ага ылайык, 3 өлчөмдүү сферанын спецификалык касиетине ээ болгон ар кандай 3 өлчөмдүү объект деформацияга чейин шар болушу керек.
- Янгдын кванттык теориясын ырастоо - Миллс. Бул илимпоздор R 4 мейкиндиги үчүн сунуш кылган кванттык теориянын бар экенин жана ар кандай жөнөкөй G. тобу үчүн 0-массалык кемчилиги бар экенин далилдөө талап кылынат.
- Берч-Свиннертон-Дайер гипотезасы. Бул криптографияга байланыштуу дагы бир маселе. Ал эллиптикалык ийри сызыктарга тийет.
- Навье-Стокс теңдемелеринин чечимдеринин бар жана жылмакайдыгы маселеси.
Эми Риман гипотезасын билесиз. Жөнөкөй сөз менен айтканда, биз Миң жылдыктын башка чакырыктарынын айрымдарын түздүк. Алар чечилет же аларда эч кандай чечим жок экени далилдениши убакыттын иши. Анын үстүнө, бул өтө көп күтүүгө туура келбейт, анткени математика барган сайын компьютерлердин эсептөө мүмкүнчүлүктөрүн колдонуп жатат. Бирок баары эле технологияга баш ийе бербейт жана илимий маселелерди чечүү үчүн биринчи кезекте интуиция жана чыгармачылык керек.
