Заттын газ агрегаттык абалынын касиеттерин изилдөө азыркы физиканын маанилүү багыттарынын бири. Микроскопиялык масштабда газдарды эске алуу менен системанын бардык макроскопиялык параметрлерин алууга болот. Бул макалада газдардын молекулярдык-кинетикалык теориясынын маанилүү маселеси ачылат: ылдамдыктар боюнча молекулалардын Максвелл таралышы кандай.
Тарыхый маалымат
Газдын микроскопиялык кыймылдуу бөлүкчөлөр системасы катары идеясы Байыркы Грецияда пайда болгон. Илимдин аны иштеп чыгуусуна 1700 жылдан ашык убакыт кетти.
Газдын заманбап молекулярдык-кинетикалык теориясынын (МКТ) негиздөөчүсү Даниил Бернуллини эске алуу туура. 1738-жылы «Гидродинамика» деген эмгеги жарык көргөн. Анда Бернулли МКТнын ушул күнгө чейин колдонулуп келген идеяларын баяндаган. Ошентип, окумуштуу газдар бардык багыттар боюнча туш келди кыймылдаган бөлүкчөлөрдөн турат деп эсептеген. Көптөгөн кагылышууларидиш дубалдары бар бөлүкчөлөр газдарда басымдын болушу катары кабыл алынат. Бөлүкчөлөрдүн ылдамдыгы системанын температурасы менен тыгыз байланышта. Илимий коомчулук Бернуллинин тайманбас идеяларын кабыл алган жок, анткени энергиянын сакталуу мыйзамы али аныктала элек.
Кийинчерээк көптөгөн илимпоздор газдардын кинетикалык моделин түзүү менен алектенишкен. Алардын ичинен 1857-жылы жөнөкөй газ моделин жараткан Рудольф Клаузиусту белгилей кетүү керек. Анда окумуштуу молекулаларда котормо, айлануу жана термелүү эркиндик даражаларынын болушуна өзгөчө көңүл бурган.
1859-жылы Клаузиустун эмгегин изилдеп жатып, Джеймс Максвелл молекулалык ылдамдыктар боюнча Максвеллдин бөлүштүрүлүшүн түзгөн. Чынында, Максвелл MKT идеяларын тастыктап, аларды математикалык аппарат менен бекемдеген. Андан кийин Людвиг Больцман (1871) Максвелл бөлүштүрүүнүн корутундуларын жалпылаштырган. Ал ылдамдыктар жана энергиялар боюнча молекулалардын жалпы статистикалык бөлүштүрүлүшүн болжолдогон. Учурда ал Максвелл-Больцман бөлүштүрүү катары белгилүү.
Идеалдуу газ. ILCтин негизги постулаттары
Maxwell бөлүштүрүү функциясы эмне экенин түшүнүү үчүн, бул функция колдонула турган системаларды так түшүнүшүңүз керек. Биз идеалдуу газ жөнүндө сөз болуп жатат. Физикада бул түшүнүк потенциалдык энергияга ээ болбогон иш жүзүндө өлчөмсүз бөлүкчөлөрдөн турган суюк зат катары түшүнүлөт. Бул бөлүкчөлөр жогорку ылдамдыкта кыймылдашат, ошондуктан алардын жүрүм-туруму толугу менен кинетикалык энергия менен аныкталат. Мындан тышкары, бөлүкчөлөрдүн ортосундагы аралыктар үчүн өтө чоңалардын өлчөмдөрү менен салыштырылгандыктан, экинчисине көңүл бурулбайт.
Идеалдуу газдар MKT ичинде сүрөттөлгөн. Анын негизги постулаттары төмөнкүлөр:
- газ системалары көп сандагы бош бөлүкчөлөрдөн турат;
- бөлүкчөлөр түз траекториялар боюнча ар кандай багытта ар кандай ылдамдыкта туш келди кыймылдайт;
- бөлүкчөлөр идиштин дубалдары менен ийкемдүү түрдө кагылышат (бөлүкчөлөрдүн бири-бири менен кагылышуу ыктымалдыгы алардын кичине өлчөмүнөн төмөн);
- Системанын температурасы бөлүкчөлөрдүн орточо кинетикалык энергиясы менен уникалдуу түрдө аныкталат, эгерде системада термодинамикалык тең салмактуулук орнотулса, ал убакыттын өтүшү менен сакталат.
Максвелдин бөлүштүрүү мыйзамы
Эгерде адамдын бир эле газ молекуласынын ылдамдыгын өлчөөгө мүмкүн болгон прибор болсо, анда тиешелүү эксперимент жүргүзгөндөн кийин ал таң калмак. Эксперимент кандайдыр бир газ системасынын ар бир молекуласы толугу менен каалаган ылдамдыкта кыймылдаарын көрсөтөт. Бул учурда айлана-чөйрө менен жылуулук тең салмактуулугундагы бир системанын алкагында өтө жай жана өтө ылдам молекулалар аныкталат.
Максвеллдин газ молекулаларынын ылдамдык бөлүштүрүүчү мыйзамы – изилденүүчү системада v берилген ылдамдыктагы бөлүкчөлөрдү табуу ыктымалдыгын аныктоого мүмкүндүк берүүчү курал. Тиешелүү функция мындай көрүнөт:
f(v)=(m/(2pikT))3/24piv2 exp(-mv2/(2kT)).
Бул туюнтмада, m -бөлүкчөнүн (молекуланын) массасы, k – Больцман константасы, Т – абсолюттук температура. Ошентип, бөлүкчөлөрдүн химиялык табияты (m мааниси) белгилүү болсо, анда f(v) функциясы абсолюттук температура менен уникалдуу түрдө аныкталат. f(v) функциясы ыктымалдык тыгыздыгы деп аталат. Эгерде андан кандайдыр бир ылдамдык чеги үчүн (v; v+dv) интегралды алсак, анда көрсөтүлгөн интервалда ылдамдыкка ээ болгон Ni бөлүкчөлөрдүн санын алабыз. Ушуга ылайык, 0дөн ∞ге чейинки ылдамдык чектери үчүн f(v) ыктымалдык тыгыздыгынын интегралын алсак, анда системадагы N молекулаларынын жалпы санын алабыз.
Ыктымалдуулук тыгыздыгынын графикалык көрүнүшү f(v)
Ыктымалдуулук тыгыздык функциясы бир аз татаал математикалык формага ээ, ошондуктан анын берилген температурадагы жүрүм-турумун көрсөтүү оңой эмес. Эгерде сиз аны эки өлчөмдүү графикте көрсөтсөңүз, бул маселени чечсе болот. Максвелл бөлүштүрүү графигинин схемалык көрүнүшү төмөндө сүрөттө көрсөтүлгөн.
Молекулалардын v ылдамдыгы терс маанилерге ээ боло албагандыктан, анын нөлдөн башталарын көрөбүз. График нөлгө акырындык менен түшүп, жогорку ылдамдыктын аймагында бүтөт (f(∞)->0). Төмөнкү өзгөчөлүк дагы таң калыштуу: жылмакай ийри сызык асимметриялуу, ал кичине ылдамдыкта кескин азаят.
Ыктымалдуулуктун тыгыздыгы f(v) функциясынын жүрүм-турумунун маанилүү өзгөчөлүгү - анда бир айтылган максимумдун болушу. Функциянын физикалык мааниси боюнча бул максимум газдагы молекулалардын ылдамдыктарынын эң ыктымалдуу маанисине туура келет.система.
f(v)
функциясы үчүн маанилүү ылдамдыктар
Ыктымалдуулуктун тыгыздык функциясы f(v) жана анын графикалык көрүнүшү ылдамдыктын үч маанилүү түрүн аныктоого мүмкүндүк берет.
Айкын болгон жана жогоруда айтылган ылдамдыктын биринчи түрү - бул v1. Графикте анын мааниси f(v) функциясынын максимумуна туура келет. Дал ушул ылдамдык жана ага жакын баалуулуктар системанын бөлүкчөлөрүнүн көбүнө ээ болот. Аны эсептөө кыйын эмес, ал үчүн f(v) функциясынын ылдамдыгына карата биринчи туундуну алып, аны нөлгө теңдөө жетиштүү. Бул математикалык операциялардын натыйжасында биз акыркы жыйынтыкты алабыз:
v1=√(2RT/M).
Бул жерде R – универсалдуу газ константасы, M – молекулалардын молярдык массасы.
Ылдамдыктын экинчи түрү бардык N бөлүкчөлөр үчүн анын орточо мааниси. Аны v2 деп белгилейли. Аны бардык ылдамдыктар боюнча vf(v) функциясын интегралдоо жолу менен эсептөөгө болот. Белгиленген интеграциянын натыйжасы төмөнкү формула болот:
v2=√(8RT/(piM)).
Катыш 8/pi>2 болгондуктан, орточо ылдамдык ар дайым эң ыктымалдуу ылдамдыктан бир аз жогору.
Физиканы бир аз билген ар бир адам молекулалардын орточо ылдамдыгы v2 газ системасында чоң мааниге ээ болушу керектигин түшүнөт. Бирок, бул туура эмес божомол. Андан да маанилүүсү - RMS ылдамдыгы. Аны белгилейлиv3.
Аныктамага ылайык, орточо квадраттык ылдамдык – бул бардык бөлүкчөлөрдүн жеке ылдамдыктарынын квадраттарынын суммасы, бул бөлүкчөлөрдүн санына бөлүнгөн жана квадрат тамыр катары алынган. Эгерде v2f(v) функциясынын бардык ылдамдыктары боюнча интегралды аныктасак, аны Максвелл бөлүштүрүүсү үчүн эсептөөгө болот. Орточо квадраттык ылдамдыктын формуласы төмөнкү форманы алат:
v3=√(3RT/M).
Теңдик бул ылдамдыктын бардык газ системасы үчүн v2 жана v1 караганда жогору экенин көрсөтүп турат.
Ошентип, Максвеллдин бөлүштүрүү графигиндеги ылдамдыктын бардык каралуучу түрлөрү экстремумда же анын оң жагында жатат.
v3 мааниси
Жогоруда белгиленгендей, газ системасынын физикалык процесстерин жана касиеттерин түшүнүү үчүн орточо квадраттык ылдамдык жөнөкөй орточо ылдамдыкка караганда көбүрөөк маанилүү v2. Бул туура, анткени идеалдуу газдын кинетикалык энергиясы v2 эмес, так v3 көз каранды.
Эгерде бир атомдук идеал газды карасак, анда ал үчүн төмөнкү туюнтма туура болот:
mv32/2=3/2kT.
Бул жерде теңдеменин ар бир бөлүгү m массалуу бир бөлүкчөнүн кинетикалык энергиясын билдирет. Эмне үчүн туюнтмада орточо ылдамдык v2 эмес, так v3 мааниси камтылган? Абдан жөнөкөй: ар бир бөлүкчөнүн кинетикалык энергиясын аныктоодо анын жеке ылдамдыгы v квадраты алынат, анда бардык ылдамдыктаркошулат жана бөлүкчөлөрдүн санына бөлүнөт N. Башкача айтканда, кинетикалык энергияны аныктоо процедурасынын өзү орточо квадраттык ылдамдыктын маанисине алып келет.
f(v) функциясынын температурадан көз карандылыгы
Биз жогоруда молекулярдык ылдамдыктардын ыктымалдык тыгыздыгы температурадан өзгөчө көз каранды экенин аныктадык. Эгерде T көбөйтүлсө же азайса функция кандай өзгөрөт? Төмөнкү диаграмма бул суроого жооп берүүгө жардам берет.
Жабык системанын ысытуусу пиктин шыбап кетишине жана анын жогорку ылдамдыкка жылышына алып келерин көрүүгө болот. Температуранын жогорулашы ылдамдыктын бардык түрлөрүнүн өсүшүнө жана алардын ар биринин ыктымалдык тыгыздыгынын төмөндөшүнө алып келет. Жабык системадагы N бөлүкчөлөрүнүн саны сакталгандыктан эң жогорку маани азаят.
Андан кийин биз алынган теориялык материалды консолидациялоо үчүн бир нече маселени чечебиз.
Абадагы азот молекулалары менен көйгөй
Ылдамдыктарды эсептөө керек v1, v2 жана v3 аба азоту үчүн 300 К температурада (болжол менен 27 oC).
Азоттун молярдык массасы N2 28 г/моль. Жогорудагы формулаларды колдонуу менен биз төмөнкүнү алабыз:
v1=√(2RT/M)=√(28, 314300/0, 028)=422 м/с;
v2=√(8RT/(piM))=√(88, 314300/(3, 140, 028))=476 м/с;
v3=√(3RT/M)=√(38, 314300/0, 028)=517 м/с.
Кычкылтек багынын көйгөйү
Цилиндрдеги кычкылтек белгилүү бир температурада болгон T1. Андан кийин шар муздакыраак бөлмөгө коюлган. Система термодинамикалык тең салмактуулукка келгенде кычкылтек молекулалары үчүн Максвелл ылдамдыгын бөлүштүрүү графиги кантип өзгөрөт?
Теорияны эстеп, маселенин суроосуна мындайча жооп бере алабыз: молекулалардын ылдамдыктарынын бардык түрлөрүнүн маанилери азаят, f(v) функциясынын чокусу солго жылат, тар жана бийик болот.
